高中数学奥赛辅导教材第一讲.pdf

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1、第一讲集合概念及集合上的运算知识、方法、技能高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合.在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目.赛题精讲Ⅰ．集合中待定元素的确定充

2、分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例.11例1：求点集{(x,y)

3、lg(x3y3)lgxlgy}中元素的个数.39【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之.11【略解】由所设知x0,y0,及x3y3xy,391111由平均值不等式，有x3y333(x3)(y3)()xy,39391111当且仅当x3y3,即x3,y3（虚根舍去）时，等号成立.3993故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之

4、.例2：已知A{y

5、yx24x3,xR},B{y

6、yx22x2,xR}.求AB.【思路分析】先进一步确定集合A、B.【略解】y(x2)211,又y(x1)233.∴{y

7、y1},B{y

8、y3},故AB{y

9、1y3}.【评述】此题应避免如下错误解法：1/64联立方程组yx24x3,消去y,2x22x10.因方程无实根，故AB.yx22x2.这里的错因是将A、B的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.例3：已知集合A{(x,y)

10、

11、x

12、

13、

14、y

15、a,a0},B{(x,y)

16、

17、xy

18、1

19、x

20、

21、y

22、}.若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为.【思路分析】可作图，以数形结合法来解之.【略解】点集A是顶点为（a，0），（0，a），（－a，0），（0，－a）的正方形的四条边构成（如图Ⅰ－1－1－1）.将

23、xy

24、1

25、x

26、

27、y

28、，变形为(

29、x

30、1)(

31、y

32、1)0,所以，集合B是由四条直线x1,y1构成.欲使AB为正八边形的顶点所构成，只有a2或1a2这两种情况.（1）当a2时，由于正八形的边长只能为2，显然有2a222,故a22.（2）当1a

33、2时，设正八形边长为l，则2llcos45,l222,2l这时，a12.2综上所述，a的值为22或2,如图Ⅰ－1－1－1中A(2,0),B(22,0).图Ⅰ－1－1－1【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.Ⅱ．集合之间的基本关系充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补），往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.n1n1例4：设集合A{

34、nZ},B{n

35、nZ},C{n

36、nZ},D{

37、nZ},则2236在下列关系中，成立的是（）A．ABCDB．AB

38、,CD2/64C．ABC,CDD．ABB,CD12n1n12n1【思路分析】应注意数的特征，即n,,nZ.22366n1n1【解法1】∵A{

39、nZ},B{n

40、nZ},C{n

41、nZ},D{

42、nZ},2236∴ABC,CD.故应选C.【解法2】如果把A、B、C、D与角的集合相对应，令nnA{

43、nZ},B{n

44、nZ},C{n

45、nZ},D{

46、nZ}.2236结论仍然不变，显然A′为终边在坐标轴上的角的集合，B′为终边在x轴上的角的集3合，C′为终边在y轴上的角

47、的集合，D′为终边在y轴上及在直线yx上的角的集3合，故应选（C）.【评述】解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解.例5：设有集合A{x

48、x2[x]2}和B{x

49、

50、x

51、2},求AB和AB（其中[x]表示不超过实数x之值的最大整数）.【思路分析】应首先确定集合A与B.从而1x2.显然,2A.∴AB{x

52、2x2}.若xAB,则x2[x]2,[x]{1,0,1,2},从而得出x3([x]1)或x1([x]1).于是AB{

53、1,3}