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1、2.2双曲线2.2.1双曲线的简单几何性质由椭圆的第一个性质出发，首先来学习双曲线的第一个性质—范围.1.范围：观察双曲线，可以看出它在不等式x≤-a，x≥a的区域里下面利用双曲线的标准方程：求出它的范围：将方程①化为即x≤-a，x≥a.①MOF1F2xy(-c,0)(c,0)MOF1F2xy(-c,0)(c,0)2.对称性：类比研究椭圆对称性的方法，容易得到，双曲线关于x，y轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线的中心.（a>b>0）3.顶点：在方
2、程①里，令y=0，得x=±a，因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0)，A2(a,0).因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有令x=0，得y2=-b2，这个方程没有实数根说明双曲线和y轴没有交点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上.（图2.3-6）两个交点，它们叫做双曲线的顶点.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的半长实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长.A1A2F1F2OB1
3、B2ba2.3-64.渐近线可以发现，点M的横坐标xM越来越大，d=MQ越来越小，但永远不等于0.A1A2F1F2B1B2ObaMQ若将双曲线的各支向外延伸，与这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.如图作虚线辅助线，围成一个虚线矩形，矩形的对角线所在的直线的方程：.A1A2F1F2B1B2ObaMQ在方程中，如果a=b，那么双曲线的方程为x2-y2=a2，它的实轴和虚轴的长都等于2a.这时，四条直线x=±a，y=±b围成正方形，渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成
4、的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-65.离心率与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为c>a>0,所以双曲线的离心率e=>1.离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？例1：已知：F1，F2是双曲线的两个焦点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2且∠PF1F2=则双曲线的离心率为多少？30°解：由题设
5、F1F2
6、=2c，
7、PF2
8、=2c，
9、PF1
10、=，根据双曲线的定义
11、PF2
12、-
13、PF1
14、=2a，即所以，离心率等于例
15、2：点M(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l：的距离的比是常数，求点M的轨迹.解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合由此得将上式两边平方，并简化，得9x2-16y2=144即所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8，6的双曲线（如图2.3-9）2.3-9xFOHyM本例与书上2.2的例6比较，你有什么发现？双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F,垂直于l1的直线分别交l1，l2于A,B两点.成等差数列,且与同向(Ⅰ)求双曲线的离心率；(Ⅱ)设A
16、B被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.例3：，，解：（1）设OA=m-d，AB=m，OB=m+d由勾股定理可得：(m-d)2+m2=(m+d)2得：,由倍角公式，解得,则离心率.（2）过F的直线方程为,与双曲线方程联立，将a=2b，代入，化简有将数值代入，有,解得，b=3最后求得双曲线方程为：课堂小结1.范围：x≤-a，x≥aMOF1F2xy(-c,0)(c,0)2.对称性：双曲线关于x，y轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线的中心.3.
17、顶点：双曲线和x轴的两个交点A1(-a,0)，A2(a,0)叫做双曲线的顶点.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的半长实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长.4.渐近线A1A2F1F2B1B2ObaMQ若将双曲线的各支向外延伸，与这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.如图作虚线辅助线，围成一个虚线矩形，矩形的对角线所在的直线的方程：.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-65.离心率双曲线的焦
18、距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为c>a>0,所以双曲线的离心率e=>1.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别椭圆双曲线
19、MF1
20、+
21、MF2
22、=2a
23、MF1
24、-
25、MF2
26、=±2aa>c>0a2-c2=b2(b>0)c>a>0c2-a2=b2(b>0)（a>b>0）（a>0,b>0）高考链接(2008重庆文)如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两
