高中数学选修2-2教学课件2_3数学归纳法1.ppt

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1、复习归纳法：结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法又可分为完全归纳法和不完全归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法可从简单情形出发观察、归纳、猜想(不完全归纳法)费马(Fermat)曾经提出一个猜想：形如Fn＝22n+1(n=0,1,2…)的数都是质数……100年后…费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。欧拉(1707～1783)，瑞士数学家及自然科学家。费马您错了!不完全归纳法能帮助我们发现猜想,但不能保证猜

2、想正确.其中道理可用于数学证明──数学归纳法.播放视频1播放视频2这种一种严格的证明方法──数学归纳法.1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的n的值，如n0＝1)；2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立.(归纳奠基）数学归纳法:关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！(归纳递推）注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可.验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,证明

3、当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立．思考1：下面的推理是否正确?错在没有奠基等式思考2：下面用数学归纳法证明的过程是否正确:错在第二步证明没有用上假设用上假设,递推才成立数学归纳法具体应用：例1.用数学归纳法证明：第二步证明是关键:1.要用到归纳假设作为理由.2.看清从k到k＋1中间的变化.例2(课本第84页B组第1题)已知数列{an}中,a1=,其前n项和Sn满足：(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,猜想Sn,并证明.1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N）.

4、例1:用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N）.证明:(1)当n=1时,左＝1，右＝12＝1∴n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据例2(课本第84页B组第1题)已知数列{an}中,a1=,其前n项和Sn满足：(n≥2),计算S1,S2,S3,

5、S4,猜想Sn,并证明.当n=k+1时：ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1++2解：S1=a1=,S2=,S3=,S4=.猜想Sn=.证明：1）n=1时由前可知，公式成立。2）假设当n=k(k∈N)时有：Sk=,∴当n=k+1时公式仍成立由1）、2）可知,对一切n∈N公式均成立。数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:(1)证明当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时结论正确；验证初始条件(2)假设n=k时结论正确,在假设之下,证明n=k+1时

6、结论也正确；假设推理(3)由（1）、（2）得出结论.下结论2.“观察、猜想、证明”是解决与自然数有关的命题的有效途径.注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。课堂小结：找准起点,奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整练习1.用数学归纳法证明:练习2.证明不等式:练习3:平面内有n(n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数为多少?并证明.用数学归纳法可以解决许多有关正整数的命题或猜想,