实变函数试卷及答案.doc

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1、邯郸学院2009-2010学年第一学期2007级数学与应用数学专业本科期末考试试卷（A）课程名称：实变函数任课教师：刘文菡考试时间：120分钟考试性质（学生填写“√”）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（）题号一二三四五总分满分2010102040100得分阅卷人复核人满分20得分一、判断正误（每小题2分）1、若一个点不是E的聚点,则必然也不是E的内点.（）2、若，a.e.于，在可测集E上可测，则也在上可测．（）3、若在可测集上可测，则在的任意可测子集上也可测．（）4、任意个开集的交也是开集.（　　）5

2、、可列集在无限集中具有最小的势．（）6、若可测，可测，且，则．（）7、设在可测集上可积分，若，则．（　　）8、由于，故不存在使之间对应的映射．（　　）9、收敛的函数列必依测度收敛．（　　）10、连续函数一定是有界变差函数．（　　）　　满分10得分二、填空题（每空2分）1、设，，，则集列的上限集为________________．2、设为Cantor集，则_____.3、设为有理数集,则________________．4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充

3、要”）5、设，则有,.满分10得分三、单项选择题（每小题2分）1、下列断言中()是错误的．（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集．2、设是上绝对连续函数，则下面不成立的是（）．(A)在上的一致连续函数；(B)在上处处可导；（C）在上L可积；(D)是有界变差函数．3、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是()．（A）若,则；(B)是可测函数；（C）是可测函数；　（D）若,则可测．4、若，则下列断言（）是正确的．(A)在可积在可积；(

4、B)；(C)；(D)．5、设是上有界变差函数，则下面不成立的是（）．(A)在上有界；(B)在上几乎处处存在导数；（C）在上L可积；(D)．满分20得分四、计算题（每小题10分）1、设，其中为Cantor集，计算．2、求极限．满分40得分五、证明题（每小题10分）1、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集．2、设在上,而成立,,则有．3、设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数．(鲁津定理的逆定理)4、在有限闭区间上的单调有限函数是有界变差函数．