与圆有关的证明与计算.docx

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1、与圆有关的证明与计算1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E、F分别在AC、BC、AB的边上，以AF为直径的⊙O恰好经过点D、E，且DE＝EF.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，求的值．第1题图(1)证明：如解图，连接OD，OE，DF，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∵∠C＝90°，∴DF∥BC，∵DE＝EF，∴＝，∴OE⊥DF，∴OE⊥BC，∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；第1题解图(2)解：∵∠B＝30°，且OE⊥BC，∴∠BOE＝60°，∵OE＝OF，∴△OEF是等边三角形，∴∠OEF＝60°，

2、又∵DE＝EF，OE⊥DF，∴∠OED＝∠OEF＝60°，∴∠CED＝30°，∴∠CDE＝60°，在Rt△CDE中，∵tan∠CDE＝tan60°＝＝，∴＝.2．如图，在Rt△BGF中，∠F＝90°，AB是⊙O的直径，⊙O交BF于点E，交GF于点D，AE⊥OD于点C，连接BD.(1)求证：GF是⊙O的切线；(2)若OC＝2，AE＝4，求∠DBF的度数．第2题图(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，又∵∠F＝90°，∴∠AEB＝∠F，∴AE∥GF，∵AE⊥OD，∴OD⊥GF，∵OD是⊙O的半径，∴GF是⊙O的切线；(2)解：∵OD⊥

3、AE，∴AC＝CE＝AE＝2，∵OA＝OB，∴OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝4，∴在Rt△AOC中，OA＝＝＝4，∵∠CEF＝∠DCE＝∠F＝90°，∴四边形CDFE是矩形，∴DF＝CE＝2，EF＝CD＝OD－OC＝4－2＝2，∴BF＝BE＋EF＝4＋2＝6，∴tan∠DBF＝＝＝，∴∠DBF＝30°.3．如图，点C是⊙O的直径AB的延长线上一点，点D在⊙O上，且∠DAC＝30°，∠BDC＝∠ABD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若OF∥AD分别交BD、CD于点E、F，BD＝2，求OE、CF的长．第3题图(1)证明：如解图，连接

4、OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠DAC＝30°，∴∠ABD＝60°，∴∠BDC＝∠ABD＝30°.∵OD＝OB，∴∠ODB＝60°，∴∠ODC＝∠ODB＋∠BDC＝90°，即OD⊥DC，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；第3题解图(2)解：∵OF∥AD，∠ADB＝90°，∴OF⊥BD，∠BOE＝∠A＝30°，∵OD＝OB，∴DE＝BE＝BD＝1.∵在Rt△OEB中，∠BOE＝30°，∴OB＝2BE＝2，∴OE＝＝＝.∵OD＝OB＝2，∠C＝∠ABD－∠BDC＝30°，∠DOF＝30°，∴CD＝＝2，DF＝OD·tan30

5、°＝，∴CF＝CD－DF＝2－＝.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若AB＝6，sin∠BAC＝，求BE的长．第4题图(1)证明：如解图，连接OD，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2，∵OB＝OD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴DO∥BC，∵∠ACB＝90°，∴∠ADO＝90°，即AC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；第4题解图(2)解：设⊙O的半径为R，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠BAC＝＝

6、，∵AB＝6，∴BC＝ABsin∠BAC＝6×＝4，由(1)知，OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝，解得R＝，如解图，过点O作OF⊥BC于点F，则BE＝2BF，OF∥AC，∴∠BOF＝∠BAC，∴sin∠BOF＝＝，∴BF＝×＝，∴BE＝2BF＝.5.如图，等腰△ACD内接于⊙O，其中AC＝CD，AB是⊙O的直径，连接BC，BD，过点C作BD的垂线，分别交AB、DB的延长线于点E、F.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AB＝5，BD＝3，求CE的长．第5题图(1)证明：如解图，连接CO并延长交AD于点M，∵AC＝CD，∴＝，∴CM

7、⊥AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥DF，∴CM∥DF，即OC∥DF，∵DF⊥CE，∴OC⊥CE，又∵OC是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；第5题解图(2)解：∵在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，∴AD＝＝4，∵OC∥DF，∴∠COE＝∠ABD，∵∠ADB＝∠OCE＝90°，∴△ABD∽△EOC，∴＝，即＝，∴CE＝.6.如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的半圆O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若半圆O的半径为2，BE＝1，求

8、CF的长．第6题图(1)证明：如解图，连接OD、AD，∵AC是半圆O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴DC＝BD.∵OC＝O