二分法-Newton法-割线法求解.docx

《二分法-Newton法-割线法求解.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、非线性方程数值求解的算法实现二分法：1.理论基础：（1）对于方程f（x）=0，如果在区间[a,b]上至少有一个根，就称[a,b]是方程的一个有根区间。例如，若f(x)连续，且f(x)*f(b)<0，由介值定理可知[a,b]是一个有根区间。如果在[a.b]上方程有且只有一个根，那就把方程的根隔离出来了，这时若把有根区间不断缩小，便可逐步得到根的近似值。（2）设方程f(x)=0的一个有根区间为[a,b]，且在区间[a,b]上只有一个根，满足f(x)*f(b)<0。可以用区间对分的方法形成有限区间的序列。令，对于区间，区间中点。检验的符号，若，

2、则取新的有限区间，有根区间向左压缩。若，则取为，有根区间向右压缩。（3）以上产生的有根区间的序列，满足，其中各区间的长度等于上一个区间的一半，区间中点的序列就是方程的根的近似解序列。不难分析，对有。而是的中点，满足。这保证了。2.代码：functiony=f(x)y=x^3-x-1;end主程序：clearallclca=input('输入下界a=');b=input('输入上界b=');eps=input('输入误差范围eps=');distance=b-a;num=0;formatlongwhile(distance>eps)x0=(

3、a+b)/2;iff(a)*f(x0)<0b=x0;elseiff(a)*f(x0)>0a=x0;elsea=x0;b=x0;enddistance=distance/2;num=num+1;endx=(a+b)/2;end3.运行结果：Newton法：1.理论基础：为了求解方程组的根。设已有一个近似值，如果存在且连续，由Taylor展开式得，其中在和之间。因为f(x*)=0,如果，可得。如果把右端含的项略去，剩下的两项就作为x*新的一个近似值，记为，即。2.代码：functionNewton(x0,nums)x=x0;fori=1:nu

4、msx1=x-(x^3+4*x^2-10)/(3*x^2+8*x);x=x1;endx3.运行结果割线法：1.理论基础：（1）Newton法每步不但要计算函数值，还要计算导数值。有时的计算比较麻烦，可以用点上的差商近似导数，即，Newton法迭代变换为，。这就是割线法的计算公式。2.代码：functionGeXian(x0,x1,nums)x(1)=x0;x(2)=x1;fori=3:numsx(i)=x(i-1)-(x(i-1)^3+4*x(i-1)^2-10)*(x(i-1)-x(i-2))/((x(i-1)^3+4*x(i-1)^2

5、-10)-(x(i-2)^3+4*x(i-2)^2-10));endx3.运行结果：比较：在论文中求解的例子可以看出，二分法需要14次迭代才能精确到小数点后四位有效数字。而Newton法和割线法分别需要3次和4次能达到如此的效果。很明显Newton法和割线法优于二分法。这是因为二分法是线性收敛的，而Newton法至少是二阶收敛的。割线法是超线性收敛的，而且收敛速度小于2.所以，在本例中，Newton法是优于割线法的。二分法的收敛速度虽然较慢，但它是全局收敛的，而Newton法和割线法是局部收敛的。