离散数学第九章课件.ppt

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1、第九章树第一节无向树及生成树内容：无向树，生成树。重点：1、无向树的定义(包括等价定义)，2、无向树的性质，3、生成树的定义，由连通图构造最小生成树的方法。本章中所谈回路均指简单回路或初级回路。一、无向树。1、无向树——连通且不含回路的无向图。无向树简称树，常用表示。平凡树——平凡图。森林——连通分支数大于等于2，且每个连通分支都是树的无向图。例1、例1、2、树的六个等价定义。(1)连通且不含回路。(2)的每对顶点间具有唯一的路径。(3)连通且。(4)无回路且。定理：设，，，则以下命题等价。2、

2、树的六个等价定义。(5)无回路，但在中任两个不相邻的顶点之间增加一条边，就形成唯一的一条初级回路。(6)是连通的，但删除任何一条边后，就不连通了。3、性质。(1)树中顶点数与边数的关系：。(2)定理：非平凡树至少2片树叶。证明：设为阶非平凡树，设有片树叶，则有个顶点度数大于等于2，由握手定理，又由(1)，代入上式，解得，即至少2片叶。例2、画出所有的6个顶点的非同构的树。解：所要画的树有6个顶点，则边数为5，因此6个顶点的度数之和为10，可以产生以下五种度数序列：(1)例2、画出所有的6个顶点的

3、非同构的树。解：所要画的树有6个顶点，则边数为5，因此6个顶点的度数之和为10，可以产生以下五种度数序列：(2)例2、画出所有的6个顶点的非同构的树。解：所要画的树有6个顶点，则边数为5，因此6个顶点的度数之和为10，可以产生以下五种度数序列：(3)例2、画出所有的6个顶点的非同构的树。解：所要画的树有6个顶点，则边数为5，因此6个顶点的度数之和为10，可以产生以下五种度数序列：(4)例2、画出所有的6个顶点的非同构的树。解：所要画的树有6个顶点，则边数为5，因此6个顶点的度数之和为10，可以产

4、生以下五种度数序列：(5)例3、(1)一棵树有7片叶，3个3度顶点，其余都是4度顶点，求4度顶点多少个？解：设有个4度顶点，则顶点数，边数，由握手定理，，解得，故这棵树有1个4度顶点。例3、(2)一棵树有2个4度顶点，3个3度顶点，其余都是树叶，求这棵树共有多少个顶点？解：设有片树叶，则顶点数，边数，由握手定理，，解得，故顶点总数为个。二、生成树。1、定义：设是无向连通图，是的生成子图，若是树，称是的生成树。树枝弦余树——在中的边，——不在中的边，——的所有的弦的集合的导出子图。例4、上图中，(

5、2)是(1)的生成树，(3)是(2)的余树。注意：(1)生成树不唯一，(2)余树不一定是树。2、连通图的性质。设为连通图，，，(1)至少有一棵生成树，(2)，(3)设是的生成树，是的余树，则中有条边。已知连通图，求其生成树步骤。3、最小生成树。对于有向图或无向图的每条边附加一个实数，则称为边上的权，连同附加在各边上的实数称为带权图，记为。最小生成树——各边权和最小的生成树。定义：设无向连通带权图，是的一棵生成树，各边带权之和称为的权，记作。求最小生成树的方法——避圈法。设阶无向连通带权图中有条边

6、，它们带的权分别为，不妨设，(1)取在中(非环，若为环，则弃)。(2)若不与构成回路，取在中，否则弃，再查，继续这一过程，直到形成树为止。解：例5、求以下连通图的最小生成树及。解：例5、求以下连通图的最小生成树及。解：例5、求以下连通图的最小生成树及。解：例5、求以下连通图的最小生成树及。注意：的最小生成树可能不唯一，但的不同最小生成树权的值一样。第二节根树及其应用内容：有向树，根树，最优二元树。重点：1、有向树及根树的定义，2、家族树，有序树，元树的概念，3、最优2元树的概念及哈夫曼算法。一、

7、根树。1、有向树：一个有向图，若略去有向边的方向所得的无向图为一棵无向树，则称为有向树。2、根树：一棵非平凡的有向树，如果有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则称此有向树为根树。根树的顶点树叶(入度为1，出度为0)分支点树根(入度为0)内点(入度为1，出度大于0)例1、例1、3、树高。的层数——从树根到顶点的通路长度，记。树高——树中顶点的最大层数，记。如例1(2)中，4、家族树。一棵根树可以看成一棵家族树。(1)若顶点邻接到顶点，则称为的儿子，为的父亲，(2)若同为的儿子，则称为兄弟，

8、(3)若，而可达，则称为的祖先，为的后代。5、根子树。树的根子树——的非树根的顶点及其后代导出的子图。例2、二、元树。1、有序树——每一层上都规定次序的根树。2、元树——每个分支点至多有个儿子的根树。元正则树——每个分支点恰有个儿子的根树。元有序树元有序正则树二、元树。元有序完全正则树注意：2元有序正则树是最重要的一种元树。1、有序树——每一层上都规定次序的根树。2、元完全正则树的层数相同(等于树高)。——元正则树，且所有树叶例3、2元有序树2元有序正则树例3、2元有序完全正则树三、树的遍历。1