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1、矩阵及其应用内容线性方程组矩阵运算矩阵的初等变换线性空间及线性变换矩阵的特征值和特征向量广义逆矩阵线性方程组矩阵因为线性方程组的解只与系数有关，而与变量的名称无关，所以我们可以把无关的因素去掉，把全体系数排成一个长方形的表：矩阵这种表被称为矩阵（对于上述方程组来说，被称为方程组的系数矩阵），通常用符号A={aij}来表示，为了运算时方便，通常用一个大写字母来表示。数aij被称为矩阵的元素。矩阵的几种比较重要的特殊情形有：由一列数组成的矩阵，叫做列向量；由一行数组成的矩阵，叫做行向量；行数和列数相等的矩阵，
2、叫做方阵。矩阵运算矩阵加法矩阵乘法矩阵加法设有如下两个方程组：和矩阵加法矩阵加法由新的方程组所得到的矩阵，自然可以看做原来两个方程组的矩阵的和。数乘矩阵类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1,...,cym的系数所对应的矩阵：矩阵乘法设有如下两个方程组：和矩阵乘法将第二个方程组带入到第一个方程组中，得到z1,...,zk的通过x1,...,xn表示的方程组。矩阵乘法通常把z关于x的方程组的系数矩阵称为z关于y的方程组的系数矩阵与y关于x的系数矩阵的乘积：矩阵乘法的计算方法两个矩阵乘积中第i行第j列的元素等于第
3、一个因子的第i行诸元素与第二个因子的第j列诸对应元素乘积之和。计算矩阵乘法的时间复杂度O(kmn)，方阵相乘的复杂度O(n3)。矩阵运算的条件加法运算只对具有同样行数和同样列数的两个矩阵有意义。得到的也是一个具有相同行数和列数的矩阵。乘法运算只对第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时有意义，得到的是一个行数与第一个矩阵相同，列数与第二个矩阵相同的矩阵。矩阵运算的基本性质根据矩阵的运算规则可以得到矩阵的如下运算性质：矩阵加法满足交换律和结合律。矩阵加法与数乘运算满足分配律。矩阵乘法满足结合律（一般不满足交换
4、律）。矩阵加法与数乘满足分配律。矩阵加法与矩阵乘法满足分配率单位阵线性方程组y1=x1+0x2+...+0xny2=0x1+x2+...+0xn......yn=0x1+0x2+...+xn的系数矩阵被称为单位阵，通常用大写字母E来表示。单位阵又矩阵乘法的定义可知，对于任意的方阵A，都满足：AE=EA=A。方阵的乘法逆元给定n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，满足：AB=BA=E，那么我们把矩阵B称为矩阵A的乘法逆元，简称为矩阵A的逆，记作：A-1。线性方程组根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方程组可以表
5、示成：Ax=y其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量[x1,x2,...,xn]，y是列向量[y1,y2,...,ym]。当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：x=A-1y方阵的幂已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n不超过50，m不超过1000000。方阵的幂（二）已知n阶方阵A和正整数m，计算A1+A2+...+Am。其中n不超过50，m不超过1000000。路径计数给定一个有向图，问从A点恰好经过k步（允许多次经过同一条边）走到B点的方案总数。图中顶点数不超过50，边数不超过1000000
6、。线性递推式细菌N个培养皿排成一个圈，每个里面都有一些细菌。培养皿逆时针编号为0,1,2,...,N-1，第i个培养皿里有bi个细菌。细菌不停地活动着，他们可能会进行6种动作：diei0：表示第i个培养皿里的细菌都死亡。reproduceik：表示第i个培养皿里的每个细菌分裂成k个。copyij：表示把第j个培养皿里的所有细菌复制到第i个培养皿。teleportij：表示把第j个培养皿里的所有细菌转移到第i个培养皿。swapij：表示交换第i个培养皿和第j个培养皿的细菌。go-round00：表示每个培养
7、皿的细菌都同时转移到它逆时针的下一个培养皿。细菌一旦某个培养皿里有超过k个细菌，每k个细菌就会合在一起进化成一个高级组织而脱离培养皿，这些细菌重复着执行M（<20）条指令，问在执行了T条指令之后，每个培养皿里各有多少个细菌？已知开始的时候每个培养皿恰好有一个细菌。蜂窝机一个n,m蜂窝机是指由n个格子围成的圈，每个格子中有一个大于等于0且小于m的整数。一个格子的d-environment是指距离这个格子不超过d的所有格子组成的集合。一个d-step是指把每个格子中的数更改为它的d-environment中的
8、所有数之和并对m模的结果。给出一个n,m蜂窝机中每个格子的初始值，问经过k次d-step后蜂窝机的每个格子中的值是多少？蜂窝机下图中是一个经过1次1-step变换的5,3蜂窝机：矩阵的初等变换矩阵的初等行变换：交换矩阵的两行；用非零常数c乘以矩阵的某一行；用常数c乘以矩阵的某一行再加到另一行上。矩阵的初等列变换：交换矩阵的两行；用非零常数c乘以矩阵的某一行；用常数c乘以矩阵的某一行再加到另一行上。矩阵的初等变换矩阵的初等变换是
