证明勾股定理的几种常用方法.doc

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1、证明勾股定理的几种常用方法勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．探究勾股定理的证明，可以加深学生对勾股定理的理解、丰富研究数学问题的方法、激发学习数学的兴趣．证明勾股定理的方法有很多种，最常见的是通过构造一些含有直角三角形的特殊图形，利用面积相等来证明，现举例说明如下：已知Rt△ABC的斜边长为c，两直角边的边长分别为a、b，求证：a2＋b2＝c2．CBAabcGHNDFEM图1证法1：如图1所示，以Rt△ABC的三条边作边长分别向外作三

2、个正方形，则正方形CDEF与正方形GHMN的面积相等，即S正方形CDEF＝S正方形GHMN．因为S正方形GHMN＝(a＋b)2，S正方形CDEF＝c2＋4×ab．所以(a＋b)2＝c2＋4×ab，故a2＋b2＝c2．abcabcabccbaABC图3abcACB图2证法2：用四个Rt△ABC拼成图2所示的图形，则四个直角三角形的直角顶点构成了一个小正方形的四个顶点．观察图形可得出等量关系：两个正方形的面积之差等于四个直角三角形的面积之和，即c2－(b－a)2＝4×ab，∴a2＋b2＝c2．说明：用四个Rt△ABC拼

3、成图3所示的图形，借助等量关系：两个正方形的面积之差等于四个直角三角形的面积之和，同样可得出a2＋b2＝c2．aabbcc图4证法3：如图4所示，两个全等直角三角形的直角边a、b在同一条直线上，则两直角三角形的斜边相互垂直．由图形可以看出，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和．则S梯形＝(a＋b)(a＋b)＝2×ab＋c2，∴a2＋b2＝c2．