小学奥数：中国剩余定理.doc

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1、在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。　　①有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？　　解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23…　　它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11…　　除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29…　　它们除以

2、12的余数是：1，5，9，1，5，9，….　　一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个

3、条件合并，就可找到答案.　　②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。　　解：先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26…　　再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28…　　这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8，23，38，…，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30…　　就得出符合题目条件的最小数是23.　　事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.那么韩信点的兵在1000-1

4、500之间，可能是105×10+23=1073人问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰：三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。　　五五数剩一复置几何？答曰，三乘七得之二十一是也。　　七七数剩一又置几何？答曰，三乘五得之十五是也。　　三乘五乘七，又得一百零五。则可知已，又三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。

5、孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。步骤如下：1.算两两数之间的能整除数　　2.算三个数的能整除数　　3.用1中的三个整除数之和减去2中的整除数之差(有时候是倍数)　　4.计算结果即可,如多一人，即可凑整。幸存人数应在1000~1100人之间，即得出：3乘5乘7乘10减1=1049（人）　　到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：　　三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，　　七子团圆月正

6、半，除百零五便得知。　　这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。