曾谨言量子力学第5章.pptx

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1、第五章中心力场§5.1中心力场中粒子运动的一般性质§5.2无限深球方势阱§5.3三维各向同性谐振子§5.4氢原子§5.1中心力场中粒子运动的一般性质中心力场：粒子所受的力总是通过一个中心，如万有引力场，原子中电子所受的库仑场，三维各向同性谐振子。经典力学中中心力场的特点：(1)势函数仅是径向坐标的函数，即(2)角动量守恒(3)中心力场中粒子的运动必为平面运动，平面的法线方向就是角动量的方向5.1.1角动量守恒与径向方程能量本征方程设质量为μ的粒子在中心力场V(r)中运动，其哈密顿为在球坐标下有可以证明：径向动能离心势能代入方程(4)得到径向波函数满足的方程令在中心力场中，l2,l,lx,ly

2、,lz均是守恒量，选守恒量完全集其共同本征函数为则有显然，能量本征值E与m无关，能级有2l+1重简并。但选用守恒量完全集后，同一能级的各简并态的标记和它们间的正交性自动解决对角动量l=0的情况，(8)式与一维势场的情况相同，只不过自变量的取值范围不同。对于非束缚态，E连续变化；对于束缚态，则E取离散值。在求解径向方程时，将出现径向量子数nr,nr=0,1,2,…,代表径向波函数节点的个数(不包括0和∞)。能级E依赖于量子数nr和l，记为Enrl。在给定l的情况下，随nr增大Enrl增大；在给定nr的情况下，随l增大，Enrl增大。原子光谱学记号5.1.2径向波函数在r→0邻域的渐进行为假定势

3、函数满足在r→0时，方程(6)可渐进表示成为在正则奇点r=0的邻域，设上述方程的解为代入(11)得解得根据波函数的统计诠释，若，则必有显然，当l≥1时，的解必须抛弃；但l=0时，的解并不违反此要求。但若把r=0包含在内并不是能量本征方程利用下列公式可进行验证因此方程(6)在r→0的解为或等价地要求径向方程(8)的解满足的解。-------径向方程解的边界条件5.1.3两体问题化为单体问题两粒子体系的能量本征方程引进质心坐标R和相对坐标r可以证明其中TotalmassReducedmass则方程(16)可化成分离变量代入(20)得方程(22)描述的是质心的运动，是自由粒子的能量本征方程，Ec是

4、质心运动的能量，与体系的内部结构无关；方程(23)描述的是相对运动，其形式与单粒子的能量本征方程相同，只不过时把粒子的质量改为约化质量，E为相对运动能量。§5.2无限深球方势阱无限深球方势阱(1)对s（l=0）态，径向方程为边界条件在势阱内(0

5、来确定的根，依次记为则粒子能量的本征值为001104.00012.04034.94116.04046.77128.37058.86209.00023.360s0p0d1s0f1p0g1d0h2s粒子的能级图与能量本征值对应的径向本征函数为当a→∞时，此时粒子无任何限制，为自由粒子，其波函数不能归一化，此时选径向波函数为§5.3三维各向同性谐振子势函数径向方程是选自然单位制，则径向方程可化为在r=0处，波函数的渐进行为是在r→∞时，方程(3)可化为其解为设方程(3)的解是：代入方程(3)可得：令，则(7)可化为此方程是合流超几何方程，其中参数为方程(8)有两个解：由于，则在ξ=0的邻域内，u2

6、在物理上不能接受。则方程(8)的解为合流超几何函数的级数形式令则三维各向同性谐振子的能级为在ξ→∞时，上述形式的解不能满足束缚态的边界条件，因此上式必须中断为一个多项式。令则相应的径向波函数是归一化得归一化条件nr为径向量子数，也是径向波函数的节点数，如nr=0,1的径向波函数1.能级简并度讨论01234567N3/25/27/29/211/213/215/217/2ENfN1361015212836nrl0s0p1s,0d1p,0f2s,1d,0g2p,1f,0h3s,2d,1g,0i3p,2f,1h,0j各向同性谐振子的能级和简并度对于给定的能级ENnr=0,1,2,…,(N-1)/2或

7、N/2l=N-2nr=N,N-2,N-4,…,1(N为奇)或0（N为偶）即能级简并度为N为偶数时N为奇数时2.Cartesian坐标系中求解在直角坐标下其中选守恒量完全集(Hx,Hy,Hz),其共同本征态是相应的能量本征值是类似可求出，对给定的N，能级简并度为nx=0,1,2,…,N-1,Nny+nz=N,N-1,N-2,…,1,0(ny+nz可能的数目)N+1,N,N-1,…,2,1即能级的简并度为它高于一