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1、天河区09-10学年下学期高一数学竞赛试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．直线的倾斜角是A．B．C．D．俯视图主视图2．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为A．与B．与C．与D．与3．已知集合，，若，则实数m的取值范围是A．B．C．D．4．从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为A．B．C．D．5．若在上是减函数,则的取值范围是A.B.C.D.6．函数是A．最小正周期为的奇函数B．
2、最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数7．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度8．的外接圆的圆心为O，半径为1，，则向量在向量方向上的投影为A．B．C．D．9．如图，一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为,腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为A．B．C．D．10已知，关于的方程，则
3、这个方程实根的个数不可能为A.4个B.3个C.2个D.1个二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11.已知向量______.12.一束光线从点A（-1，1）发出，并经过x轴反射，到达圆上一点的最短路程是．13．是偶函数，且它的定义域为，则该函数的最小值是．14．已知，则的值是_____________________.三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．16．（本小题满分12分）
4、已知的顶点的坐标为，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程．17.（本小题满分14分）已知向量,,.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若,,且,求.18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．（1）求的取值范围；（2）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．19.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，垂直于底面，，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设求点到平面的距离．20.（本小题满分14分）设,，.(Ⅰ)若
5、,且对任意实数均有成立,求的表达式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若不是[-2,2]上的单调函数,求实数的取值范围；(Ⅲ)设且,当为偶函数时,求证:.天河区09-10学年下学期高一数学竞赛试题答卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)题号12345678910答案二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)题号11121314答案三、解答题：15.16.17.18.19.20.天河区09-10学年下学期高一数学竞赛答案一、选择题：ACCBCACADD二．填空题：11.12.413．14．三．解答题：（本
6、大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．【解析】（Ⅰ）∵……………1分……………2分……………4分∴函数的最小正周期．……………6分（Ⅱ）∵，……………8分∴，……………10分∴，∴在区间上的最大值为，最小值为．……………12分16．（本小题满分12分）已知的顶点的坐标为，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程．【解析】设，……………3分由AB中点在上，可得：，y1=5，所以．……
7、………6分设A点关于的对称点为，……………7分则有.……………9分所以：……………10分故……………12分17.（本小题满分14分）已知向量,,.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若,,且,求.【解】（Ⅰ）,,.……………2分,,………3分即,………5分.……………6分（Ⅱ）,……………7分,，……………9分.……………12分18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．（1）求的取值范围；（2）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）圆的方程
8、可写成，所以圆心为，过且斜率为的直线方程为．………………………………………2分代入圆方程得，整理得． ①………………………………………4分直线与圆交于两个不同的点等价于，…………………………………6分解得，即的取值范围为．…………………………………7分（Ⅱ）设，则，由方程①， ②
