有限元法与边界元法ppt.pdf

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1、有限元法有限单元法（FiniteElementMethod），简称有限元法（FEM）:将流动区域分为许多三角形、矩形或曲边形等各种形状的单元。有限元法与边界元法优点：适应边界形状不规则的区域，便于处理自然边界条件，比较适合求解椭圆型方程和扩散方程的数值解。计算程序虽然比较复杂，但比较标准规范，便于使用。有限元方法的理论基础：变分原理或加权余量法——将微分方程的求解变成求积分方程的近似解的问题，避开微分方程求解的困难，对近似解的可微性要求也可以降低。所以下面介绍加权余量法。武汉大学水利水电学院赵昕12n

2、5.1加权余量法假设一个满足第一类边界条件的近似解u~=∑αφjjj=1设有微分方程L(u)=f（在区域Ω中）其中φ(j=1,…，n)为一组事先选取的线性无关的基函数，j解u也应该满足积分方程∫[]L()u−fδudΩ=0α为相应的待定系数。jΩ不满足原微分方程，形成的误差称为余量ε=L()u~−f——加权余量法的出发点欲使加权后的ε在区域Ω中在平均意义下为零δu类似于虚位移，是一个满足一定边界条件的任意的变分函数。∫εδudΩ=∫[]L()u~−fδudΩ=0在给定u值的边界Γ1上，δu的边界条件取

3、为0。ΩΩn可取权因子δu=∑βiWii=1W(i=1,…，n)是一组线性无关的基函数（权函数）。i34选择权函数W：i⎡⎛n⎞⎤⎛n⎞∫⎢L⎜⎜∑αjφj⎟⎟−f⎥⎜∑βiWi⎟dΩ=0（1）`取W≡1，→有限体积法。iΩ⎢⎣⎝j=1⎠⎥⎦⎝i=1⎠（2）最小二乘法。取δu是满足δuΓ=0的任意函数，不妨取某个βi=1，其余的β为0∂∂∂ε2∂ε12得<ε,ε>=∫εdΩ=∫dΩ=2∫εdΩ=0∂α∂α∂α∂αiiΩΩiΩi⎡⎛n⎞⎤⎢L⎜αφ⎟−f⎥WdΩ=0（i=1，……，n）相当于W=∂ε()

4、∫⎜∑jj⎟ii=LφiΩ⎢⎣⎝j=1⎠⎥⎦∂αi——加权余量法的基本关系式（一个求解系数α的代数方程组）⎡n⎤j（3）伽辽金法，取Wi=φi则∫⎢L(∑αjφj)−f⎥φidΩ=0nΩ⎣j=1⎦线性微分方程→线性代数方程组：∑aijαj=bi（i=1，……，n）j=1n∑αj∫φiL()φjdΩ=∫φifdΩa=∫WL()φdΩb=∫WfdΩj=1ΩΩijijiiΩΩ56例5.1泊松方程的第二类边界条件问题解2以泊松方程为例∇2u=−f⎧∇u=−f⎪⎨∂uu=u;=g2⎪Γ1∂n或L(u)=−∇u=

5、f⎩Γ2n边界条件：应用伽辽金法求其近似解u≈u~=αφ∑jjj=1（1）第一类边界条件（本质边界条件）：u=uΓ1为引入自然边界条件，分别取余量∂u~（2）第二类边界条件（又称自然边界条件）：=gε=−∇2u~−fε=∂u−g∂n12∂nΓ2Γ2使之满足⎛∂u⎞（3）第三类边界条件：⎜+hu⎟=p⎛⎞⎝∂n⎠Γ3εδudΩ+εδudS=()−∇2u~−fδudΩ+⎜∂u~−g⎟δudS=0∫1∫2∫∫⎜∂n⎟ΩΓ2ΩΓ2⎝Γ2⎠78例5.2泊松方程的第二类边界条件问题的弱解n伽辽金法：令δu=βφ，

6、并对β适当取值，得[]2∑iii∫−∇u−fδudΩ=0i=1Ω()2⎛⎜∂u~⎞⎟因为▽·(δu▽u)=▽δu·▽u＋δu▽2u−∇u~−fφdΩ+−gφidS=0∫i∫⎜∂n⎟ΩΓ2⎝Γ2⎠∫()2∫∫()δu−∇udΩ=−∇•δu∇udΩ+∇u•∇δudΩ⎛n⎞⎛n∂φ⎞ΩΩΩ⎜2⎟⎜j⎟或−α∇φ−fφdΩ+α−gφdS=0∫⎜∑jj⎟i∫⎜∑j∂n⎟iΩ⎝j=1⎠Γ2⎝j=1⎠∂un根据奥－高公式，有∫∫∇•()δu∇udΩ=δudS∂n∑aα=bΩΓijjij=1∂φ所以∫()2∫∫∂u2

7、jδu−∇udΩ=∇u•∇δudΩ−δudSaij=−∫∫φi∇φjdΩ+φi∂ndS,bi=∫φigdΩ+∫fφidΩΩΩΓ∂nΩΓ2Γ2Ω∂u∫∇u•∇δudΩ=∫δudS+∫fδudΩ要求φi的二阶导数可积——强解ΩΓ∂nΩ910n取u≈u~=∑αjφjδu=φiδu=0j=1Γ1n⎡⎤∂u∑αj⎢∫()∇φj•∇φidΩ⎥=∫φidΩ+∫fφidΩ∂uj=1⎣Ω⎦Γ2+Γ3∂nΩ∇u•∇δudΩ=δudS+fδudΩ所以∫∫∂n∫ΩΓ2+Γ3Ω第二类边界条件问题时：n⎡⎤∑αj⎢∫()∇φj•

8、∇φidΩ⎥=∫φigdΩ+∫fφidΩ二维问题时u=u(x,y),∇u•∇δu=∂u∂δu+∂u∂δuj=1⎣Ω⎦Γ2Ω∂x∂x∂y∂yn有∑aα=bijji⎛∂u∂δu∂u∂δu⎞∂uj=1∫⎜⎜+⎟⎟dΩ=∫δudS+∫fδudΩΩ⎝∂x∂x∂y∂y⎠Γ2+Γ3∂nΩaij=∫()∇φj•∇φidΩ,bi=∫φigdΩ+∫fφidΩΩΓ2Ω1112n二维问题：如何使近似解u~=∑αjφj满足第一类边界条件u=u？Γ1j=1⎛∂φ∂φ∂φ∂φ⎞a=⎜