误差理论与数据处理 第五版第六单元 课后答案.pdf

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1、第六章回归分析例题例1某含锡合金的熔点温度与含锡量有关，实验获得如下数据：含锡量ω×10020.328.135.542.050.7Sn熔点温度/℃416386368337305含锡量ω×10058.665.974.980.386.4Sn熔点温度/℃282258224201183设锡含量的数据无误差，求：①熔点温度与含锡量之间的关系。②预测含锡量为60%时，合金的熔点温度（置信概率95%）。③如果要求熔点温度在310～325℃之间，合金的含锡量应控制在什么范围内（置信概率95%）？解：用x,y分别表示含锡量的百分数和熔点温度。（1）按实验数据在图6-1所示坐标系中描出散点

2、。图6-1由图6-1可见，在实验区间内y与x的关系近似为线性关系，故设y对x的回归方程为yˆ=bb+x0计算系数b0、b，列表如下：222序号xy/℃xy/(℃)Xy/℃10.2034160.04120917305684.44820.2813860.078961148996108.46630.3553680.126025135424130.64040.4203370.176400113569141.54050.5073050.25704993025154.63560.5862820.34339679254165.25270.6592580.43428166564170.

3、02280.7492240.56100150176167.77690.8032010.64480940401161.403100.8641830.74649633489158.112∑5.42729603.4096279342241442.294NN∑xt=5.427∑yt=2960°CN=10t=1t=1x=0.5427y=296.0°CNN222∑xt=3.409627∑yt=934224()°Ct=1t=12N1⎛⎞⎜⎟∑xt=2.94523N⎝⎠t=12NN21⎛⎞2lyyy=−∑∑t⎜⎟yt=58064()°Ctt==11N⎝⎠2NN21⎛⎞lxxx=−∑∑t

4、⎜⎟xt=0.4644tt==11N⎝⎠2NN21⎛⎞2lyyy=−∑∑t⎜⎟yt=58064()°Ctt==11N⎝⎠N∑xytt=1442.294°Ct=1NN1⎛⎞⎛⎞⎜⎟∑∑xytt⎜⎟=1606.392°CN⎝⎠tt==11⎝⎠NNN1⎛⎞⎛⎞lxxyt=−∑∑yt⎜⎟xytt⎜⎟∑=−164.098°Cti==11N⎝⎠⎝⎠i=1lxyb==−353.4°Clxxbyb=−=x487.8°C0yCCˆ=487.8°−(353.4°)x检验回归方程的显著性，列表如下：来源平方和自由度方差F显著性Ub=lxyUυU回归υU=1=57992.23=57992.23

5、查表得UυUF0.01（υU，υQ）F=Qlbl=−υ=N−2QυyyxyQQ残余QυQ=8.97=F0.01（1，8）=71.77=8=6465.13=11.26＜F故，高度显著Sl=yy总计υS=N−1=58604（2）残余标准差συ==°QC8.97=2.99°CQ图6-221()x−x由概率论知()1yy−+ˆσ+服从tN(2−)分布，故y的(1−α)置信区间为Nlxx⎛⎞21()xx−⎜⎟ytNˆ±−++α(2)1σx×100⎜⎟Nl⎝⎠xx利用回归方程进行预测的方法见图6-2。当含锡量为ωSn=60%时，令x1=0.6，则ybbˆ101=+x=−×(487.

6、8353.40.6)°C≈276°Cy的95%置信区间为1⎛⎞1()xx−2⎜⎟yt1±−+10.05−(2N)1σ+⎜⎟Nl⎝⎠xx⎛⎞1()xx−2=±⎜⎟yt10.05(8)σ1++⎜⎟Nl⎝⎠xx⎛⎞1(0.60.5427)−2=⎜⎟2762.312.99±××++1°C⎜⎟100.4644⎝⎠=(2767.26)±°C≈(283.269)°C即合金的熔点温度将以95%的概率落在269～283°C之间。（3）利用回归方程进行控制的方法，见图6-3。由题意知'⎪⎧yC=310°2⎨'⎪⎩yC=325°3图6-3由图6-3得⎧1()xx−2⎪ˆ±−+(1)1+='y

7、tN22ασy⎪⎪Nlxx⎨⎪−21()xx'⎪ytNˆ33±−+α(1)1σ+=y⎪⎩Nlxx即21()xx2−bb02++−xtNα(1)1σ++=y′Nl2xx21()xx3−bb03++−xtNα(1)1σ++=y′Nl3xx代入数字得⎡⎤2⎢⎥1(x2−0.5427)=310℃487.8353.4−+x2.312.99××1++⎢⎥2N0.4644⎢⎥⎣⎦⎡⎤2⎢⎥1(x3−0.5427)=325℃487.8353.4−+x2.312.99××1++⎢⎥3N0.4644⎢⎥⎣⎦解上面两方程得⎧x=50.3%2⎨⎩x=46.1%3