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1、第2节单位根检验由于虚假回归问题的存在，因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。在第十二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。这一章则给出序列平稳性的严格的统计检验方法，即单位根检验。单位根检验有很多方法，这里主要介绍DF和ADF检验。序列均值为0则无C，序列无时间趋势则无trend在介绍单位根检验之前，先认识四种典型的非平稳随机过程。1、四种典型的非平稳随机过程（1）随机游走过程。yt=yt-1+ut,y0=0,ut~IID(0,s2)其均值为零，方差无限大（?），但不含有确定性时间趋势。（见图1a）。图1a由yt=yt-1+ut生成的序列图1b深证成指（2）随机趋势过程。y
2、t=a+yt-1+ut,y0=0,ut~IID(0,s2)其中a称作位移项（漂移项）。由上式知，E(y1)=a（过程初始值的期望）。将上式作如下迭代变换，yt=a+yt-1+ut=a+(a+yt-2+ut-1)+ut=…=at+y0+yt由确定性时间趋势项at和y0+组成。可以把y0+看作随机的截距项。在不存在任何冲击ut的情况下，截距项为y0。而每个冲击ut都表现为截距的移动。每个冲击ut对截距项的影响都是持久的，导致序列的条件均值发生变化，所以称这样的过程为随机趋势过程（stochastictrendprocess），或有漂移项的非平稳过程（non-stationarypro
3、cesswithdrift），见图2，虽然总趋势不变，但随机游走过程围绕趋势项上下游动。由上式还可以看出，a是确定性时间趋势项的系数（原序列yt的增长速度）。a为正时，趋势向上；a为负时，趋势向下。图2a由yt=0.1+yt-1+ut生成的序列图2b由yt=-0.1+yt-1+ut生成的序列因为对yt作一次差分后，序列就平稳了，Dyt=yt-yt-1=a+ut（平稳过程）所以也称yt为差分平稳过程（difference-stationaryprocess）。a是Dyt序列的均值，原序列yt的增长速度。（3）趋势平稳过程yt=b0+b1t+ut,ut=rut-1+vt,(r<1,v
4、t~IID(0,s2))yt与趋势值b0+b1t不同，差值为ut。因为ut是平稳的，yt只会暂时背离趋势。yt+k的长期预测值将趋近于趋势线b0+b1(t+k)。所以称其为趋势平稳过程（trendstationaryprocess）。趋势平稳过程由确定性时间趋势b1t所主导。趋势平稳过程见图3，属于非平稳过程。趋势平稳过程也称为退势平稳过程，因为减去趋势后，其为平稳过程，yt-b1t=b0+ut。yt=b0+b1t+ut不必通过差分变为平稳过程。因为趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程。Dyt=b1+ut-ut-1。移动平均特征方程中含有单位根。图3yt=0.05+0.1t+AR
5、(1),r=0.8生成的序列（4）趋势非平稳过程yt=f0+at+yt-1+ut,y0=0,ut~IID(0,s2)其中f0称作位移项（漂移项），at称为趋势项。上式是含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程（见图4）。图4yt=0.01+0.01t+yt-1+ut,ut~IID(0,s2)生成的序列对上式进行迭代运算(设定y0=0)yt=m+at+yt-1+ut=m+at+[m+a(t-1)+yt-2+ut-1]+ut==y0+mt+(at)t-a(1+2+…+t)+=y0+mt+at2-(1+t)t+=(m-)t+t2+,趋势非平稳过程是含有随机趋势和确定性趋势的混合过程。趋势
6、项中包括t的1次和2次项。这种过程在经济问题中非常少见。下面分析随机趋势过程与平稳的AR(1)过程的区别。对于如下过程：yt=f0+f1yt-1+ut当f1=1时，yt是一个随机趋势过程；当
7、f1
8、<1时，yt是一个均值为的平稳过程。随机趋势过程yt=0.1+yt-1+ut和带有漂移项的平稳过程yt=4+0.6yt-1+ut的比较见下图。差别在于随机趋势过程的自回归系数为1，带有漂移项的平稳过程的自回归系数绝对值小于1。图5随机趋势过程和带有漂移项的平稳过程的比较2、DF分布（1）DF统计量的分布特征三个简单的自回归模型：=，y0=0，ut~IID(0,s2)（13.1）=，y0
9、=0，ut~IID(0,s2)（13.2）=，y0=0，ut~IID(0,s2)（13.3）其中是漂移项，是趋势项。当真值
10、b
11、<1时，yt是平稳的，当
12、b
13、=1时，yt是非平稳的。现在以（13.1）式为例，讨论的分布特征如何。若b=0，统计量=~t(T-1)，其极限分布为标准正态分布。若
14、b
15、<1，统计量=渐近服从标准正态分布。当
16、b
17、=1时，变量非平稳，上述极限分布发生退化（方差为零）。定义DF统计量为：（2）DF统计量的分布特征与百分位数表取样本容量T=100，分别用（13
