模拟信号的分段压缩感知.doc

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1、模拟信号的分段压缩感知OmidTaheriSergiyA.Vorobyov阿尔伯塔大学电子与计算工程学院摘要：提出了一种新的处理连续信号的方法（AIC，analog-to-informationconversion）。根据这种方法，信号首先是被分段后通过AIC处理得到一组不完整的测量结果。然后，剩余的的相关数据通过选择特别的方法就可以由不断加入数据子集而重建。归功于该方法的内在特殊结构，采样设备并没有改变但是信号恢复却有了有意义的提高。该方法的有效性已经从理论上得到了证实。仿真结果亦表明分段压缩感知的可靠性。关键词：压缩感知约束等距

2、性连续信号转换1引言压缩感知理论告诉我们，如果一个信号是稀疏的，它就可以从低于乃奎斯特采样频率的信息中重新恢复原始信号[1]-[3]。具体的，信号f在正交基Ψ下的表达式为f=xiψi=ΨHx（1）其中ψi，i=1，…，N是1×N的基向量，xi，i=1…，N是若干个系数，Ψ是N×N的矩阵，ψi，i=1，…，N是行向量，x=[x1，…，xN]T，（.）H表示厄密共轭变换。如果大多数系数为零就称f为稀疏的。在Ψ中如果最多只有S个系数不为零，则信号为S稀疏的。CS理论指出，我们可以建立一个通用的S稀疏采样矩阵而不管特定信号的自然属性[1]。

3、诸如图像获取、传感网络、认知无线电压缩感知理论已经得到了应用。采样过原始程是对f信号乘以一个K×N的测量矩阵Φ，也就是说y=Φf=Φ’x，其中Φ‘=ΦΦH。用这些有效的测量数据，原始信号可以通过下面一个最优化问题得到恢复。[1],[7]min

4、

5、x

6、

7、l1,满足Φ’x=y（2）其中，

8、

9、.

10、

11、l1表示向量的l1范数。（2）是一个凸函数可以转化成线性问题加以解决。不确定性原则为压缩感知提供了一个极佳的前提条件。它要求测量矩阵Φ必须满足约束等距性。特别的，我们用ΦT来表示Φ的子矩阵，前者表示由后者的列构成的子阵，T｛1，…，N｝，S稀疏

12、等距常数S满足下式（1-S）≤≤(1+S)（3）c的势小于等于S。在（3）式中表示向量的欧几里德距离。如果约束等距常数足够小，就可以保证测量矩阵高精度的表示了S稀疏的c向量的大不分值。K×N的均值为零方差为1/K高斯随机矩阵就是这种测量矩阵的一个很好的例子。这种矩阵能够以高概率满足S≤cK/log(N/K)，其中c为常数。在这篇文章中，我们针对AIC提出了一种新的压缩感知方法，它用我们已经获取了的测量方法来进行一系列新的相关的测量。这些新的测量方法可以用来提高信号的重建精度。由于这种新的方法只是建立在增加测量数据的老方法之上，采样设

13、备几乎没有变化。扩展原来CS测量矩阵的步骤在这里将会被介绍。同时还将证明为了使信号恢复扩展的矩阵必须满足约束等距性。仿真结果证实了该方法的有效性。这篇文章的总体构造是这样的，在第二部分中，介绍一种新的分段压缩感知方法。紧接着在第三部分中将证明如果原始测量矩阵满足约束等距性则分段压缩感知的扩展矩阵也符合约束等距性。由于我们在分析中都是假设矩阵的所有元素是满足独立同分布均值为0的高斯变量，这个结果也可以看成是托普利茨矩阵的高度概括[9]。所提方法优势的仿真结果在第四部分阐述然后就是第五部分的总结。2提出的分段压缩感知方法在压缩感知的过程

14、中，信号的采样和压缩是紧密结合在一起的。因此在宽带信号中高速的数模转换器是必不可少的。然而，除了可以用乃奎斯特速率采样后通过测量矩阵还可以用RMPI系统进行AIC处理。[8]。为了得到所需值，先将信号和采样波在时域相乘然后对这个乘机在其周期内进行积分。由于计算是在时域进行的，一系列平行的混合与积分模块是必不可少的。图1清楚的再现了这种结构，x（t）是原始信号，=,i=1，…，K是采样波形，，i=1，…，K是压缩后的信号。随机的±1序列是一种符合要求的采样波形。图（1）基于RMPI的AIC结构使用平行的AIC方法，可以克服高速度的AD

15、转换，然而，在连续信号处理和复原等很多实际的应用中收集大量的测量数据是必要的。为了得到更多数据的分支直接影响到了AIC的复杂度。因此，在不牺牲恢复精度的前提下减少平行的分支数量是我们希望看到的。可以通过对每一个积分分支进行分段积分用一组不完全测量值取代在整个区间积分的唯一值[6]。注意到原始积分区间被分成许多小的区间，现在的测量值并没有完全表示原信号。所以，这种方法也叫不完全测量。下文中，经典的完全测量我们称为采样，而不完全测量则叫欠采样。我们工作的主要内容是对比不同采样波形下重新使用欠采样的一种新的测量方法。假设积分周期被分成M个

16、子区间，表示由，k=1，…，K1感知的欠采样向量，K1是传统采样的个数。欠采样，k=0，1，…，K1-1，j=0，1，…,M-1由下式给出（4）总的欠采样点数为MK1。这些数据可以放在K1×M的矩阵中，其中第k行对应于。原始的K1个数