随机过程复习题.doc

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1、3、（10分）某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。3、解：设顾客到来过程为{N(t),t>=0}，依题意N(t)是参数为l的Poisson过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为，在未来半小时仍无顾客到来可表示为，从而所求概率为：4、（15分）设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，

2、其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移矩阵为：试对经过长时间后的销售状况进行分析。4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且pii>0，从而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为p={p1，p2，p3}，求解方程组：p=pP,p1+p2+p3=1即：得：即极限分布为：由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。3简述Poisson过程的随机分流定理答：设为强度为的poisson过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用

3、与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p把他归入第二类。对i=1,2,记为t前到达的第i类顾客数，那么分别为强度为p与（1-p）的poisson过程，而且这两个过程相互独立。4简述Markov链与Markov性质的概念答：如果随机变量是离散的，而且对于及任意状态，该随机序列为Markov链，该对应的性质为Markov性质。5.简述Markov状态分解定理答：(1)Markov链的状态空间S可惟一分解为，其中T为暂态的全体，而为等价常返类。（2）若Markov链的初分布集中在某个常返类上，则此Markov链概率为1地永远在此常返类中，也就是说，它也可以看

4、成状态空间为的不可约Markov链。7．什么是随机过程，随机序列？答：设T为[0，+）或（-，+），依赖于t(tT)的一族随机变量（或随机向量）{}通称为随机过程，t称为时间。当T为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。8.什么是时齐的独立增量过程？答：称随机过程{：t0}为独立增量过程，如果对于起始随机变量及其后的增量是相互独立的随机变量组；如果的分布不依赖于s,则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。4．设随机过程X是标准正态分布的随机变量。试求数学期望，方差，相关函数，协方差。解：因为，（1）所以（2）（2）（2）2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟

5、内到达的顾客不超过3人的概率。解：设是顾客到达数的泊松过程，，故，则3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即；且每个顾客的消费额是服从参数为的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。由题意可知，每个顾客的消费额是服从参数为的指数分布，由指数分布的性质可知：，故，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望；一天内商场营业额的方差。6、（15分）设是参数为的泊松过程，计算。【解答】2.1设随机过程为常数，，求的一维概率密度、均值和相关函数。解因，所以，也服从正态分布，所以，的一维概率密度为，均值函数相关函数2.4设有随机过

6、程，其中为常数，是相互独立且服从正态分布的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。解因独立，，所以，均值相关函数2独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为，对于，令，这些值分别对应于第n-1次和第n次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链的一步和二步转移概率矩阵。解对应状态为，（正，反），（反，正），（反，反），（不可能事件）（不可能事件）同理可得下面概率，，，，，，一步转移概率矩阵为二步转移概率矩阵为8某商品六年共24个季度销售记录如下表（状态1—畅销，状态2—滞销）季节123456789101112销售状态112122111212季节131

7、415161718192021222324销售状态112211212111以频率估计概率，求（1）销售状态的初始分布，（2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布。解状态1的个数为15个，状态2的个数为9个（1）所以，销售状态的初始分布为（2）求一步转移概率状态共有7个，状态共有7个，状态共有7个，状态共有2个，所以，，一步转移概率矩阵为，三步转移概率矩阵为三步转移后的销售状态分布为6.1设有随机过程，其中为常数，是在区间上服从均匀分布的随机变量，问