小五奥数教材课程十八环形路上的行程问题.pdf

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1、课程十八环形路上的行程问题学习目标我们已经学习过追及问题和相遇问题，下面我们学习利用追及、相遇问题解环形路上的行程问题。重点1.当二人（或物）同向运动时就是追及问题，追及问题是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；2.当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。总结环形道路上的行程问题本质上讲就是追及和相遇问题，仍记住以下数量关系：相遇路程=速度和×相遇时间速度和=相遇路程÷相遇时间相遇时间=相遇路程÷速度和追及路程÷速度差=追及时间速度差×追及时间=追及路程追及路程÷追及时间=速度差例1如图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练

2、习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙.如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？乙200米/分乙甲甲A250米/分200米/分250米/分（1）（2）分析与解法根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长.（250-200）×45=2250（米）同理在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇例2如图所示，A、B是一圆形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿

3、相反方向绕道匀速跑步（甲、乙两人的速度未必相同），假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇；当甲差60米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇，那么当甲、乙两人第十二次相遇时，甲跑完几圈又多少米？BA分析与解法甲、乙第一次相遇时共跑0.5圈，第二次相遇时共跑1.5圈.因为甲、乙第一次相遇时乙跑了100米，所以第二次相遇时乙跑了100×3=300（米），此时甲差60米跑1圈，推知0.5圈是300-60=240（米），1圈是480米.第一次相遇时甲跑了240-100=140（米），以后每次相遇甲又跑140×2=280（米），所以第12次相遇时，甲共跑了140+2

4、80×11=3220（米）=6圈340（米）.例3如图,AOB和COD是⊙O的两条互相垂直的直径.甲沿圆周走一圈用12分钟，乙走一圈用8分钟.若甲、乙二人同时分别从点A、C出发，顺时针方向沿圆周行走.问：出发后几分钟乙能追上甲？D甲ABOC乙分析与解法甲沿圆周走一圈用12分钟，每分钟走圆的；乙走一圈用8分钟，每分钟走圆的.一分钟乙追上甲（圆周），所以乙追上甲圆周，要用=6（分钟）.说明：由[12，8]=24，即24分钟乙比甲多走一个圆周，现乙要追甲。例4甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步.如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲

5、的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是多少米？A··C·B分析与解法设甲速为2a，则乙速为5a.又设跑道周长为s。让甲、乙从A点同时出发，按逆时针方向跑。乙第一次追上甲所用时间为=，此时甲跑了×2a=s.（到达C点，如图跑道长度平均分成3份）调整速度后，甲速为2a×（1+25%）=a；乙速为5a×（1-20%）=4a。乙第二次追上甲所用时间为（始点C）=，此时甲跑了×=s=s+s（到达B点）。由题意可知：第一次乙追上甲的位置C与第二次乙追上甲的位置B相距100米，即

6、BC弧=100米。若BC弧为优弧，则s=100，那么s=150（米）；若BC弧为劣弧，则s=100，那么s=300（米）；故环行跑道的周长是150米或300米。例5如图A、B两点把一个周长为1米的圆周等分成两部分，蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是米.如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向B点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍.已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于____米。AB分析与解法把周长为1米的圆周8等分，每一等分算作一段，蓝精灵跑一次就跳3段.跳4次跳12段，恰好一周半，跳

7、到A点，当蓝精灵经过特别通道到B点，此时圆周周长变成2米，我们把新的圆周分成16段，现在蓝精灵跳8次，共跳24段才到A点……如此继续下去，跳16次、32次、64次、128次，蓝精灵才回到A点.为了便于对照，列出下表：跳的次数48163264128256新的圆周长248163264128因为4+8+16+32+64+128+256=508<10004+8+16+32+64+128+256+512>1000所以蓝精灵跳1000次，有7次到A点，此时圆周长是128米。所以，跳完1000次后圆周长是128米。1说明：以米算作一段，圆周长的段数依次是8，16，32，

8、64，…这些数，只有1.5倍8时才能被3整除，也就是跳一周半，恰好