平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数).pdf

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1、平新乔《微观经济学十八讲》第2讲间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为ulnqq。求该消费者的间接效用函数。并且12运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。解：（1）①当yp0时，消费者的效用最大化问题为：2maxlnqq12q,q12stpqpqy1122构造拉格朗日函数：Llnqqypqpq121122L对q、q和分别求偏导得：12Lp0①qq111L1p0②q22Lypqpq0③1122从①式和②式中消去后得

2、：pq2④1p1再把④式代入③式中得：ypq2⑤2p2从而解得马歇尔需求函数为：pypq2q21p2p12由⑤式可知：当yp0时，q0，消费者同时消费商品1和商品2。22将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：pyvp,p,yuq,qln21212pp12②当yp0时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。2从而解得马歇尔需求函数为：yqq01p21将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：yvp,p,yuq,qln1212p1（2）①当yp

3、0时，此时的间接效用函数为：2pyvp,p,yuq,qln21212pp12将间接效用函数分别对p、p和y求偏导得：12vvyv1ppppp2yp112222由罗尔恒等式，得到：yvpppvpp2pypq112q22221vy1p2vy1p12pp22②当yp0时，间接效用函数为vp,p,yuq,qlny，将间接效用函数分21212p1别对p、p和y求偏导得：12vvv0pppyy112由罗尔恒等式，得到：vppyvp0q1

4、1q201vyp2vy1yy（3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。2．某个消费者的效用函数是ux,xx2x，商品1和2的价格分别是p和p，此消121212费者的收入为m，求马歇尔需求函数和支出函数。解：（1）消费者的效用最大化问题为：maxx2x12x，x12s.t.pxpxm1122构造该问题的拉格朗日函数：Lx2xmpxpx121122拉格朗日函数对x、x和分别求偏导得：12L2xxp0①x1211Lx2p0②x122Lmpxpx0③1122从①式和②式中消

5、去后得：pxx11④22p2把④式代入③式中得：2mxp,p,m⑤1123p1把⑤式代入④式中得：xp,p,mm⑥2123p2⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：4m2m4m3Vp,p,mxy9p23p27p2p1212由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：127p2pu33ep,p,u1232p2pu124212m3．试根据间接效用函数vp,p,m求出相应的马歇尔需求函数，这里m表示12pp12收入。vmvmv1解：由间接效用函数可得：，，

6、。ppp2ppp2mpp11221212根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为（其中i1或2）：mvppp2mx1121vy1pp12pp12mvppp2mx2122vy1pp12pp124．考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。假定他的选择决策只依赖于其效用函数uxx，这里x,xR2。已知北京的物价为1212pa,pa，上海的物价为pb,pb，并且papapbpb，但papb，papb。又知广州的物121212121122

7、11价为pc,pcpapb，papb。若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生12211222活？解：老人的效用最大化问题为：maxxx12x，x12s..tpxpxm1122构造该问题的拉格朗日函数：Lx,x,xxmpxpx12121122拉格朗日函数对x、x和分别求偏导得：12Lxp0①x211Lxp0②x122Lmpxpx0③1122由①②③三式求