高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第8节 定积分.pdf

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1、第8节定积分【基础知识】1．定积分的概念b在f(x)dx中，a,b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)a叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的性质bb(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；aabbb(2)[f(x)f(x)]dxf(x)dxf(x)dx；1212aaabcb(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a

2、基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．a其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把Fb-Fa记作F(x)b，即bf(x)dxF(x)bFb-Fa．aaa4．求分段函数（带绝对值的函数）的积分（1）分段函数的定积分①分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式；②分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细.（2）奇偶函数在对称区间上的积分aa①若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则f(x)dx2f(x)dx;a0a②若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]

3、上连续，则f(x)dx0.a5.利用定积分求面积（1）由直线x=a，x=b（ab），x轴及一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积b-Fa)Sf(x)dx，若F'(X)f(x)，则SF(b）（.a（2）推广：由直线x=a，x=b（ab），yf(x)和y=g(x）（f(x)g(x））围成的平b面图形的面积为S[f(x)g(x)]dx.a6.定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝bv(t)dt.a(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(

4、x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝bF(x)dx.a【规律技巧】1、利用微积分基本定理求定积分时，将被积函数化为易求原函数的函数解析式，进而求解，根据被积函数的特点，适当进行积分区间的分割，或者对被积函数分割，有时会更简洁方便．2、利用定积分求平面图形面积的四个步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．3、用定积分解决变速运动的位移与路程问题时,把物理问题转化为数学问题是关键.另外注意变速直线运动的速度

5、函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分,然后求出积分的和.【典例讲解】x2，x∈[0，1]，【例1】(1)设f(x)＝则2f(x)dx等于()2－x，x∈（1，2]，0345A.B.C.D．不存在456(2)定积分39－x2dx的值为________．0(3)1e

6、x

7、dx＝________．－19π【答案】(1)C(2)(3)2e－24【规律方法】(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．

8、(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．(3)若y＝f(x)为奇函数，则af(x)dx＝0.若f(x)为偶函数，则af(x)dx＝2af(x)dx.－a－a0【变式探究】(1)定积分1(x2＋sinx)dx＝________．－1(2)定积分2

9、x－1

10、dx＝________．011由定积分的几何意义知所求定积分是图中阴影部分的面积，易知面积S＝＋＝1.222【答案】(1)(2)13【例2】如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积．【规律方法】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(

11、2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．1【变式探究】(1)如图所示，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1及y＝所围成的图形(阴影4部分)的面积为()2111A.B.C.D.33244(2)曲线y＝x2与直线y＝kx(k