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1、《优化原理与方法》作业解答要点5.1建造一容积为V(m3)的长方形蓄水池（无盖），要求选择其长、宽、高，使表面积最小，从而建筑用料最省。试写出此问题的数学模型。[解]选择设计变量x1、x2、x3分别代表蓄水池的长、宽、高，优化数学模型为：5.2某公司有资金a万元，可供选择购置的设备有n种，已知相应于第i种设备所需资金为bi万元，可得收益为ci万元，要求收益最大的投资安排。试写出其数学模型。[解]选择设计变量x1、x2、…、xn分别代表n种可选购设备的购买数量，优化数学模型为：5.3某城市要建造一供应服务中心，向该市m个
2、用户提供服务，设第i个用户的位置为（ai，bi），需要货物量为wi吨，试寻求这个中心最经济的位置，使运输量（吨公里数）最小。[解]选择设计变量x1、x2代表中心的位置坐标，优化数学模型为：5.4对于二次型函数（1）写出它的矩阵-向量形式；（2）写出海赛矩阵；（3）证明H(x)的正定性；（4）f(x)是凸函数吗？为什么？[解]（1）（2）（3）（4）因H为正定阵，f(x)为凸函数5.5试判定以下函数的凹、凸性：（1）（2）（3）（4）[解]（1）因f〞(x)=6(4-x)≧0，所以f(x)（x≦4时）为凸函数。（2）（3
3、）因f〞(x)=1/x2>0，所以f(x)（x>0时）为凸函数。（4）5.6试判别下列非线性规划是否为凸规划：（1）（2）[解]（1）先化为标准式然后判别目标函数f(x)的凸性再判别不等式约束函数g(x)=的凸性等式约束函数h(x)为线性函数；目标函数为凸函数，可行域为凸集，故该问题为凸规划（2）为凸规划（证略）5.7用牛顿法求下列函数的极小点，终止准则（1）（2）[解]（1）（2）5.8用共轭梯度法求解[解]，=5.9试用图解法讨论，当β取何值时：（1）有唯一的最优解，并指出其x*及f*；（2）有无穷多个最优解；（3
4、）不存在有界的最有界。CBA(2,3)x2x1[解]负梯度方向O(1)有唯一解的情况当①负梯度方向介于d1与d2之间时，即-β<0亦即β>0时有唯一解x*=(0,0),f*=0；②负梯度方向介于d2与d3之间时，即1>-β>0或-1<β<0时有唯一解x*=(0,1),f*=β；③负梯度方向介于d3与d4之间时，即2>-β>1或-2<β<-1时有唯一解x*=(2，3),f*=2+3β。(2)有无穷多解的情况β=0时，解点在OA上；β=-1时，解点在AB上；β=-2时，解点在BC上。(3)有无界解的情况β<-2时，不存在有
5、界的最优解。5.10试用单纯形法求解[解]（1）（求解过程略）答案：x*=[1,0,1,3,0,0]T，f*=-4（2）（求解过程略）先化成标准式再求解。答案：x*=[4,5,0,0,0,11]T，f*=-115.11已知线性规划（1）试写出其对偶形式；（2）已知原问题最优点x*=[1,1,2]T，试根据对偶理论，求出对偶问题的最优点W*。[解]（1）根据对称形式的对偶关系，其对偶问题为：（2）由x*=[1,1,2]T知，x1、x2、x3均为基变量，基矩阵及其价格系数矩阵为根据对偶理论，y*=[cBTB-1]T=W*=
6、3*2+6*2+2*1=205.12考虑非线性规划：试用KT条件判别：是否为问题的KT点。[解]KT条件为：即将x1代入得第3、5、6式自然满足，由第2式得ν=0，代入第1式得μ=1/8>0，满足第4式，故x1满足KT条件，是KT点。将x2代入得第3、5、6式自然满足，由第1、2式解得ν=0.2，μ=3/40>0，满足第4式，故x2满足KT条件，是KT点。将x3代入得第5、6式自然满足，由第3式μ=0，且满足第2、4式，代入第1式得ν=，故x3满足KT条件，是KT点。5.13用KT条件解下列问题，并写出它的对偶问题，验
7、证二者最优值是否相等：[解]（1）利用KT条件求解。KT条件为：即由第1式得μ1>0，则由第3式得x1=1，代回第1式得μ1=4；由第2式得μ2=，则由第4式得x2=μ2=0；其余式子均能满足，故x=(1,0)T满足KT条件，是KT点。此外，在可行域目标函数的Hesse阵半正定，目标函数为凸函数，约束函数为线性函数，可行域为凸集，故x*=(1,0)T是全局最优点，f*=8/3。（2）通过对偶问题求解。对偶问题为令▽xL(x,μ)=0得（1）补充：利用罚函数法求解。构造响应函数：①其中为平稳点、非极小点，故，有②③④故x
8、*=(1,0)T是最优点，f*=8/3。5.14[解]可采用标号法求解，求解过程参见PPT材料。答案：最短路线12：AB2C1D3E或AB2C2D3E。[解]以甲、乙、丙为分配顺序，视为3个阶段，以各阶段分配之前的设备数为输入状态，以各阶段分配后剩下的设备数作为输出状态，建立动态规划模型。可通过列表法求解。（简略过程见下表）阶段三
