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时间:2020-08-18
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1、第6课时 三角恒等变换1.化简三角函数式的基本要求:(1)能求出值的要求出值来;(2)使三角函数式的项数、三角函数的种类及角的种类尽可能少;(3)使三角函数式的次数尽可能低;(4)分母中尽量不含三角函数式和根式.2.三角函数式的求值三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值、给值求值、给值求角.(1)给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用,同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代
2、入,从而达到解题的目的.(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次判断该角对应区间的单调性,从而达到解题的目的.1.在△ABC中,已知2sinA·cosB=sinC,那么△ABC一定是( )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析:∵2sinAcosB=sin(A+B),且A,B∈(0,π),∴sin(A-B)=0,且-π3、理的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”等.已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为:(1)先化简所求式子;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.三角函数实际应用问题的解题步骤(1)确立三角函数关系式y=Asin(ωx+φ)+b.(2)建立变量关系,根据题意确立A、ω、φ、b.(3)解决实际问题,作出结论.如图为一个4、缆车示意图,该缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式;(2)设从OA开始转动,经过t秒后到达OB,求h与t之间的函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?【变式训练】 3.某昆虫种群数量在1月1日时低至700只,而在当年7月1日时高达900只,其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化.(1)求出种群数量关于时间t的函数解析式(t以月为单位);(2)画出种群数量关于时间t的函数图象.(2)其图象为:1.三角恒等变5、换的原则(1)化繁为简:变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为单项式,化无理式为有理式;(2)消除差异:消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.2.求值:主要有三类求值问题(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有6、某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.从近两年的高考试题来看,利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称,利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点,常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,既有选择题、填空题,又有解答题,属中低档题.答案:A练规范、练技能、练速度
3、理的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”等.已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为:(1)先化简所求式子;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.三角函数实际应用问题的解题步骤(1)确立三角函数关系式y=Asin(ωx+φ)+b.(2)建立变量关系,根据题意确立A、ω、φ、b.(3)解决实际问题,作出结论.如图为一个
4、缆车示意图,该缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式;(2)设从OA开始转动,经过t秒后到达OB,求h与t之间的函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?【变式训练】 3.某昆虫种群数量在1月1日时低至700只,而在当年7月1日时高达900只,其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化.(1)求出种群数量关于时间t的函数解析式(t以月为单位);(2)画出种群数量关于时间t的函数图象.(2)其图象为:1.三角恒等变
5、换的原则(1)化繁为简:变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为单项式,化无理式为有理式;(2)消除差异:消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.2.求值:主要有三类求值问题(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有
6、某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.从近两年的高考试题来看,利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称,利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点,常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,既有选择题、填空题,又有解答题,属中低档题.答案:A练规范、练技能、练速度
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