直线和圆锥曲线常见题型.pdf

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1、直线和圆锥曲线经常考查的一些题型山东省济南市历城二中数学教研组长孔爱中直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存

2、在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：xxyy1、中点坐标公式：x12,y12，其中x,y是点A(x,y)，B(x,y)的中221122点坐标。2、弦长公式：若点A(x,y)，B(x,y)在直线ykxb(k0)上，1122则ykxb，ykxb，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，1122AB(xx)

3、2(yy)2(xx)2(kxkx)2(1k2)(xx)21212121212(1k2)[(xx)24xx]1212111或者AB(xx)2(yy)2(xx)2(yy)2(1)(yy)21212k1k212k2121(1)[(yy)24yy]。k212123、两条直线l:ykxb,l:ykxb垂直：则kk111122212rr两条直线垂直，则直线所在的向量vgv0124、韦达定理：若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不同的根x,x，则12bcxx,xx。

4、12a12a常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系x2y2例题1、已知直线l:ykx1与椭圆C:1始终有交点，求m的取值范围4m思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点（0，m),且m4。x2y2解：根据直线l:ykx1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:1过动4mx2y2点（0，m),且m4，如果直线l:ykx1和椭圆C:1始终有交点，则4mm1，且m4，即1m且m4。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：

5、l:ykx1过定点（0，1）l:yk(x1)过定点（1，0）l:y2k(x1)过定点（1，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。练习：1、过点P(3,2)和抛物线yx23x2只有一个公共点的直线有（）条。A．4B．3C．2D．1分析：作出抛物线yx23x2，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。解：抛物线yx23x2如图，点P（3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2)和抛物线yx23x

6、2只有一个公共点的直线有一条。故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条

7、数情况：（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过

8、点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（