点集拓扑期末试卷.doc

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38、得分阅卷人一、单项选择题(每小题3分，共30分)1、设，下列集族中,上的拓扑是…………………（②）.①②③④2、已知，拓扑,则=………………（④）①φ②③④3、在实数空间中，有理数集的边界是…………………（④）①②Q③R-Q④R4、在实数空间中，区间的内部是………………………（④）①②③④5、设是一个拓扑空间，A,B是的子集,则下列关系中错误的是（③）①②③④6、离散空间的任一子集为………………………………………(③)①开集②闭集③即开又闭④非开非闭共6页，第2页共6页，第1页点集拓扑试题样卷A7、设是拓

39、扑空间的积空间.是到的投射，则是…………………………………（④）①单射②连续的单射③满的连续闭映射④满的连续开映射8、在实数空间R中，下列集合是开集的是……………………（④）①整数集Z②有理数集③无理数集④整数集Z的补集9、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为………………………………(②)①②③④10、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为…………………………………………（②）①1②2③3④4得分阅卷人二、填空题(每小题4分，共20分)1、设,则的平庸拓扑为;2、每一个球形的邻域都是开集3、若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个可分空间；4、若任意个拓扑空间,都具有性质,则积空间

40、也具有性质，则性质称为有限可积性;5、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个商映射;一二三四总分

41、得分阅卷人四、证明题（每小题6分，共30分）2、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集.证明：如果是的一个不连通子集，则存在的非空隔离子集使得……………………………………………3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔离子集此外，，这说明不连通，矛盾.从而是的一个连通子集.4、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.证明：若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，设为Vx,因为X是可数补

42、空间，因此对,是的一个开邻域，从而,使得.于是,…………………………………………………3分由上面的讨论我们知道：因为是一个不可数集，而是一个可数集，矛盾.从而X不满足第一可数性公理.得分阅卷人三、名词解释（每小题4分，共20分）1、同胚映射：设和是两个拓扑空间.如果是一个一一映射，并且和都是连续映射，则称是一个同胚映射或同胚.2、不连通空间3、拓扑4、导集5、度量

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79、3、设是拓扑空间的一个连通子集,证明:如果和是的两个无交的开集使得,则或者,或者.证明：因为是的开集，从而是子空间

80、的开集.又因中，故由于是的连通子集,则中必有一个是空集.若,则;若,则

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