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1、量子霍尔效应童国平浙江师范大学数理信息学院内容提要引言经典Hall效应电子的Landau能级磁通量子化整数量子Hall效应(IQHE)分数量子Hall效应(FQHE)展引言(1985年第一次诺贝奖)1930年,Landau证明量子力学下电子对磁化率有贡献,同时也指出动能的量子化导致磁化率随磁场的倒数周期变化.引言•1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔电导,1978年KlausvonKlitzing和Th.Englert发现霍尔平台,但直到1980年,才注意到霍尔平台的量子化单位•1985年,K
2、lausvonKlitzing获诺贝尔物理奖.引言1998年第二次诺贝尔奖•1982年,崔琦,H.L.Stomer等发现具有分数量子数的霍尔平台,一年后,R.B.Laughlin给出了一个波函数,对分数量子霍尔效应给出了很好的解释.•1998年诺贝尔物理奖授予HorstStomer,崔琦和RobertLaughlin,以表彰他们发现分数量子霍尔效应及对这一新的量子液体的深刻理解.量子霍尔效应经典霍尔效应1879年,由JohnsHopkins大学的研究生EdwinHall发现,其导师是HenryA.Rowla
3、nd教授.经典霍尔效应长条形导体:电流密度:横向电场:霍尔电阻率:电阻率与磁场成正比经典霍尔效应根据德鲁特电导理论,金属中的电子在被杂质散射前的一段时间t内在电场下加速,散射后速度为零.τ称为弛豫时间.电子的平均迁移速度为电流密度为若存在外加静磁场,则电导率和电阻率都变为张量此处,仍然成立.有磁场时,加入罗仑兹力,平面电子运动的Langevin方程为稳态时,,假定磁场沿z方向,在xy平面内其中(回旋频率)(经典电导率)由此易得电导率与电阻率的关系为如果,则当时,也为0.另一方面由此,当时,,为霍尔电导电子在
4、均匀磁场中运动的Landau能级由量子力学,电子处在磁场中的哈密顿量为这里选择矢量势波函数为(因为H中不显含x,z)根据薛定谔方程可求得电子的能量为或其中n=0,1,2,3,4,…H的本征函数为在xy平面内单位面积态之数目为对于某一个Landau能级,在y方向的平衡位置数目也由决定,故能级的简并度是.磁通量子化选标量函数仅依赖方位角作规范变换,并选取若波函数描述延展态,则方位角可以取任意值.若满足周期性,则单值性要求:其中为磁通量子.整数量子Hall效应(IQHE)•二维电子系统目前,二维电子气主要以下面三
5、个方式实现1,MOSFET(金属-氧化物-半导体场效应管)硅中空穴向z方向运动,在SiO2和Si的表面出现负电荷.电子密度为:MOSFET示意图p-Si空穴型MOSFET的电子能级结构2,超晶格例:GaAs/AlGaAs异质结的电子能级结构电子密度:3,液氦表面液氦表面有一个超过1eV的势垒,阻止电子透射到液氦中去,而镜象电荷(+e)势又吸引电子于表面.电子密度:整数量子Hall效应(IQHE)•实验条件•极低温(1.5K)•强磁场(18T)•比较纯的样品•实验装置示意图实验观测到的霍尔电阻1.霍尔电阻有台
6、阶2.台阶处纵向电阻为零.3.台阶高度为,i为整数,对应于占满第i个Landau能级,精度大约为5ppm.由于杂质的作用,Landau能级的态密度将展宽(如下图).两种状态:扩展态和局域态只有扩展态可以传导霍尔电流(0度下),因此若扩展态的占据数不变,则霍尔电流不变.当Fermi能级位于能隙中时,出现霍尔平台.Laughlin(1981)和Halperin(1982)基于规范变换证明,只要第i个扩展态占满,则霍尔电阻由下式精确给出霍尔平台是怎样产生的?无序引起的金属—绝缘体相变问题朗道的费米液体理论，实质上
7、说的是库仑相互作用仍保持动量空间中费米面的存在，或说金属—金属无相变，莫特现象反映了在窄能带的晶体场中，库仑相互作用可能导致金属—绝缘体的相变。那末在非晶体场中又怎样呢？1958年安得森指出在一个强随机场中电子的波函数会局域化，即有金属—绝缘体的相变。这一工作在当时并未引起注意，因为结论似乎是在意料之中的。•从紧束缚近似提供的能带图像不难理解，在能带中心附近的态应该保持扩展态，至少对不是非常强的无序系统来说应该成立；在能带边缘的那些态是局域态。•1968年莫特对这种从局域态到扩展态的过渡，提出了迁移率边缘的
8、临界能量Ec的概念。•莫特在1973年又进一步提出Ec处有一个电导率的突变，即从局域态的σmin=0到扩展态σmin≠0的突变.1974年沙勒斯(Thouless)等提出了局域化问题的标度描述。1979年阿伯拉姆(Abraharms)等在沙勒斯等工作基础上提出了局域化标度理论，结论是电导率应该是连续变化而不是突变的。以后就有一系列用场论的重整化群方法研究无序引起的金属-绝缘体相变。结论是D=l，2维在无序的作用下
