高代(一)期末试题.doc

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1、高等代数（一）期末试题一．填空题（每空2分，共20分）：1．在由几个不同元素组成的一个排列中，所有逆序的总数，叫做这个排列的（）。2．（）。3．设为三阶方阵，，则（）。4．若矩阵的秩，则的阶子式的值（）。5．设是多项式的二重根，则（），（）。6．设都是阶可逆矩阵，矩阵的逆矩阵为（）。7．如行列式，则（）。8．设是整数且（），那么存在一对整数和，使得且（）。满足以上条件的整数和是唯一确定的。二．选择题（每小题2分，共10分）：1．一个阶行列式，如果他的第1列上除了外其余元素都为零，那么这行列式等于（）。（A）（B

2、）（C）（D）2．设，则的伴随矩阵（）。（A）（B）(C)(D)3．初等方阵（）（A）都是可逆阵（B）所对应的行列式的值等于（C）相乘仍为初等方阵（D）相加仍为初等方阵4．若集合（这里是实数集）是数域，则应满足条件（）。（A）是整数（B）是有理数（C）是有理数，是实数（D）是任意数5．设是三阶方阵，是其伴随矩阵。的所有二阶子式都等于零，则（）（A）（B）（C）（D）三．计算题（前三题8分，第4题6分，共30分。1.设三阶可逆方阵是主对角线上元素全为零的实对称矩阵，矩阵为对角阵，计算，并指出中元素满足什么条件时，

3、为可逆矩阵。2．求满足下列方程的矩阵：3．为何值时，线性方程组有唯一解，无穷多解，无解？有无穷解时，求出方程组的一般解。4.利用行列式的性质计算四．证明题（每小题8分，共40分）1．设求证：整除的充要条件是整除。2．设是复数域上的多项式，若对任意的实数，总是实数，求证：是实系数多项式。3.设均是阶方阵，可逆，且，证明：（这里为正整数）4．设是阶矩阵且，求证。5．设是两个数域，证明：的交集也是数域。高等代数（一）期末试题一．填空题（每空2分，共20分）：1．阶行列式=det按第列展开是（）2．设，，若除以后余式等

4、于，则（），（）。3．已知实系数多项式有一个虚根为，则其余两个根为（）和（）。4．排列的反序数为（）。5．设是阶方阵，均为线性方程组的解，且，则的秩（）。6．det中，（3，2）元素的代数余子式（）7．数环一定包含（），数域一定包含（）数域。二．选择题（每小题2分，共10分）1．设是阶可逆矩阵，且det,那么det()(A)(B)(C)(D)2.设均是阶方阵，则必有（）（A）detdetdet(B)detdetdet(C)(D)3.det中项的系数是（）（A）(B)(C)(D)4.下列矩阵中可以化为有限个初等矩

5、阵之积的矩阵是（）（A）(B)(C)(D)v5.如果矩阵中所有阶子式都等于零，则的秩一定满足（）（A）秩（B）秩(C)秩（D）秩三．计算题（前三题8分，第四题6分，共30分）：1．用克莱姆法则解线性方程组：2．解线性方程组，求出一般解：3．且det,det求det.4.设，求的次方。四．证明题（每小题10分，共40分）：1．证明：数域上任意一个不可约多项式在复数域中无重根。2．设方阵满足，证明：及都可逆，并求及。3．设是可逆矩阵，证明：的伴随矩阵可逆，且。4．设是映射，又令,证明：（1）如果是单射，那么也是单射

6、；（2）如果是满射，那么也是满射。标准答案：一．1．（B）2.(B)3.(A)4.(B)5.(A)二．1．反序数2．3．detdet4．至少有一个不等于零5．6．7．8．三．1．可逆2．而3．方程组的增广矩阵为时唯一解，时无解，时有无穷解，且对应的方程组为一般解为这里为自由未知量4．四．1．设，则由有，所以，故..2．设令，则有这是以为未知量的线性方程组，其系数行列式为方程组有唯一解，是实数，所以是实系数多项式。4．由得。又.5．设是两个数域，则。有且。所以是数域。标准答案（二）：一．1．2．3．4．反序数为7

7、5．小于6．7．数0，有理数域二．1．（B）2.(A)3.(A)4.(B)5.(C)三．1．系数行列式为而常数项全为零，2．方程组的增广矩阵为对应的方程组为于是一般解为为自由未知量3．det4.,而四．1．设是上的不可约多项式，则在上没有重因式，于是在复数域上也有。没有重因式，于是没有重根。2．可逆，且。又。由可逆有可逆。。3．det同理4．（1）若，则而是单射，，即是单射。（2）由是单射，有，使而是满射。