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1、第22卷第1期内蒙古农业大学学报Vol.22No.12001年3月Mar.2001JournalofInnerMongoliaAgriculturalUniversity文章编号:1009-3575(2001)01-0105-06X用分段放缩法证明不等式1233王振寰,吉玉环,关冬月,贾宝军(1.内蒙古农业大学基础课部,呼和浩特010018;2.呼市实验中学;3内蒙古工业学校)摘要:本文提出1种新的证明不等式的方法——分段放缩法。先将不等式转化成函数不等式,然后在每个局部区间上证明不等式。关键词:分段放缩法;导
2、数;增函数;不等式中图分类号:O122.3文献标识码:APROVINGTHEINEQUALITYBYSEGMENTAMPLIFICATIONANDMINIFICATION122WANGZhen-huan,JIYu-huan,GUANDong-yue,JIABao-jun(1.Dept.ofBasicCourse,InnerMongoliaAgriculturdUniversity,Huhhot010018;2.HuhhotExperimentMiddlSchool;3.InnerMongoliaIndustry
3、School)Abstract:Thispaperwilldemonstrateanewmethodtoprovetheinequality—segmentamplificationandminification.Namely,theinequalityshouldbetransformedintofunctioninequalityfirstandthentheinequalitycanbeprovedbyanintervalofeachsegment.Keywords:segmentamplificatio
4、nandminificatin;derivative;incrementfunciton;inequality引言在初等数学中有一些重要的不等式尚未证明,这些不等式使用初等数学工具很难得证,本文提出了1种新的方法——分段放缩法。先将不等式转化为函数不等式,然后使用高等数学知识和计算机分段证明,最后[1]证明了数学通讯征题160题。1分段放缩法我们通过例题说明分段放缩法。例题:设$ABC的中线ma、mb、mc,半周长、外接圆半径、内切圆半径分别是s、R、r,证明或否定:911122≤++5R+2Rr+3rmamb
5、mbmcmcmaX收稿日期:1999-11-25作者简介:王振寰(1962—),女,讲师,从事基础数学研究.106内蒙古农业大学学报2001年证明:(甲)在等腰三角形中,此不等式是成立的。设a=2,b=c=l,则l>1(若底边不为2,扩大或缩小若干倍,使底边为2),由中线公式,R,r公式,要证明的不等式转化为236(l-1)44432≤+25l+4l+8l-24l+12(l2-1)(8+l2)8+l236(l-1)4若432≤2,不等式显然成立,下面仅就5l+4l+8l-24l+128+l236(l-1)443
6、2>2的情况进行证明。5l+4l+8l-24l+128+l236(l-1)44若432≤+25l+4l+8l-24l+12(l2-1)(8+l2)8+l2236(l-1)416成立Z432-2≤225l+4l+8l-24l+128+l(l-1)(8+l)4322(4l-4l+55l+24l-84)1Z43222≤2(5l+4l+8l-24l+12)(8+l)l-11098765432Z9l+72l-144l+360l-945l-5256l+11529l+4464l-9432l-8640l+8208≥028765
7、432Z9(l-2)+(l+12l+28l+104l+199l-204l-331l-12l+228)>0(用导数法不难1证明f(l)各项系数和>0),∴$ABC为等腰三角形时,911122≤++成立,5R+2Rr+3rmambmbmcmcma等号仅当$ABC为等腰三角形时成立。PPAP(乙)证明不等式在一般情况下成立,为此,设$ABC的最小角为A,且A≠,B=-+x,C=-3222[2]AP3ArBAC-x,x≥0,则0≤x≤-,由中线公式,正弦定理,=4sinsinsin,则222R222911122≤++转
8、化为5R+2Rr+3rmambmbmcmcmaf(A,x)g(A,x)+g(A,x)h(A,x)+h(A,x)f(A,x)+K(A,x)>0,1其中f(A,x)=为x的增函数,1.5+2cosAcos2x+0.5cos2A1g(A,x)=为x的增函数(在g(A,x)中,令22sinA+0.5+0.5cosAcos2x-1.5sinAsin2x1(0.5cosAcos2x-1.5sinA
