2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第4章 4.2 导数的运算 Word版含解析.pdf

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1、4．2导数的运算[读教材·填要点]1．求导公式(1)几个幂函数的导数：原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x211f(x)＝f′(x)＝－xx21f(x)＝xf′(x)＝2x(2)基本初等函数的导数公式：原函数导函数f(x)＝xα(α≠0)f′(x)＝α·xα－1f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axln_a1f(x)＝lnx(x＞0)f′(x)＝x1f(x)＝logx(a＞0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝sinxf′(

2、x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_x1f(x)＝tanxf′(x)＝cos2x2．求导法则(1)(cf(x))′＝cf′(x)；(2)(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)；(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；1f′x(4)fx′＝－fx2(f(x)≠0)；gxfxg′x－gxf′x(5)fx′＝fx2(f(x)≠0)；(6)若y＝f(u)，u＝g(x)，则y′＝y′·u′.xu

3、x[小问题·大思维]1．下面的计算过程正确吗？ππ2sin′＝cos＝.442π2提示：不正确．因为sin＝是一个常数，42π而常数的导数为零，所以sin4′＝0.π2若函数f(x)＝sinx，则f′＝.422．若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)≠0，那么下列关系式成立吗？(1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)；aaf′x(2)fx′＝－[fx]2(a为常数)．提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．3．函数y＝ln(2x＋1)的导函数是什么？提示：y＝l

4、n(2x＋1)是由函数y＝lnu和u＝2x＋1复合而成的，122∴y′＝y′·u′＝·(2x＋1)′＝＝.xuxuu2x＋1应用导数公式求导数求下列函数的导数：11(1)y＝10x；(2)y＝lgx－；(3)y＝logx；x224xx(4)y＝x3；(5)y＝sin＋cos2－1.22[自主解答](1)y′＝(10x)′＝10xln10.1112(2)y′＝lgx－′＝(lgx)′－′＝＋.x2x2xln10x3111(3)y′＝(logx)′＝＝－.21xln2xln23313(4)y′＝(4x3)′＝(x)′＝x－＝.44444

5、xxx(5)∵y＝sin＋cos2－122xxxx＝sin2＋2sincos＋cos2－1＝sinx，2222∴y′＝(sinx)′＝cosx.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．1．求下列函数的导数：1(1)y＝ex；1(2)y＝10x；3(3)y＝lg5；(4)y＝3lgx；x(5)y＝2cos2－1.21111解：(1)y′＝x′＝xln＝－＝－e－x.

6、eeeex111－ln10(2)y′＝x′＝xln＝10101010x＝－10－xln10.(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0.3(4)∵y＝3lgx＝lgx，1∴y′＝(lgx)′＝.xln10x(5)∵y＝2cos2－1＝cosx，2∴y′＝(cosx)′＝－sinx.利用导数运算法则求导数求下列函数的导数．(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；x＋32(3)y＝；(4)y＝xsinx－；x2＋3cosx(5)y＝e3x；(6)y＝5log(2x＋1)．2xsinx

7、[自主解答](1)y′＝(x·tanx)′＝cosx′xsinx′cosx－xsinxcosx′＝cos2xsinx＋xcosxcosx＋xsin2xsinxcosx＋x＝＝.cos2xcos2x(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′－x2－6x＋3(3)y′＝＝.x2＋32x2＋3222sinx(4)y′＝(xsinx)′

8、－′＝sinx＋xcosx－.cosxcos2x(5)函数y＝