2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线教学案含解析理.pdf

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1、第七节抛物线[考纲传真]1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py标准方程(p>0)(p>0)(p>0)(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴pppp焦点坐标F

2、，0F－，0F0，F0，－2222离心率e＝1pppp准线方程x＝－x＝y＝－y＝2222范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下[常用结论]与抛物线有关的结论pp(1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x，y)到焦点F，0的距离

3、PF

4、＝x＋，也称为抛物00202线的焦半径．aa(2)y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，0，准线方程为x＝－.44(3)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，p2若A(x，y)，B(x，y)，则①xx＝，yy

5、＝－p2.1122124122p②弦长

6、AB

7、＝x＋x＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．12sin2α③以弦AB为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()a(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，0，准4a线方程是x＝－.()4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4)若直线与抛物线只有一

8、个交点，则直线与抛物线一定相切．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×12．抛物线y＝x2的准线方程是()4A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－21A[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]43．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()17157A.B.C.D．01616811B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋161615＝1，∴y＝.]164．(教材改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x，y)，Q(x，y)两点，1122如

9、果x＋x＝6，则

10、PQ

11、等于()12A．9B．8C．7D．6B[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，

12、PQ

13、＝

14、PF

15、＋

16、QF

17、＝x＋1＋x＋1＝x＋x＋2＝8.]12125．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．y2＝－8x或x2＝－y[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]抛物线的定义与应用【例1】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,

18、2)，则

19、PB

20、＋

21、PF

22、的最小值为________．4[如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P，则

23、PQ

24、＝

25、PF

26、.则有

27、PB

28、＋111

29、PF

30、≥

31、PB

32、＋

33、PQ

34、＝

35、BQ

36、＝4，即

37、PB

38、＋

39、PF

40、的最小值为4.]11[拓展探究](1)若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求

41、PB

42、＋

43、PF

44、的最小值．(2)若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d，到直线l的距离为d，求d＋d的最小值．1212[解](1)由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵

45、PB

46、＋

47、

48、PF

49、的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴

50、PB

51、＋

52、PF

53、≥

54、BF

55、＝42＋22＝25，即

56、PB

57、＋

58、PF

59、的最小值为25.(2)由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d＝

60、PF

61、－1，1所以d＋d＝d＋

62、PF

63、－1.122易知d＋

64、PF

65、的最小值为点F到直线l的距离，2

66、1＋5

67、故d＋

68、PF

69、的最小值为＝32，212＋－2所以d＋d的最小值为32－1.12[规律方法]与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(1)已知P是抛

70、物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则

71、P