优化,报童,变分模型.ppt

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1、优化模型优化模型的数学意义优化问题是在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。设计师要求在满足强度要求等条件下合理选择材料的尺寸；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格和生产计划，使利润达到最大；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用达到最低。……本章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题：即建立和求解所谓的优化模型。注意的是建模时要作适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用。如果在建模的基础上再辅之以适当的检验，就可以期望得到实际问

2、题的一个比较圆满的回答。本章介绍较为简单的优化模型，归结为微积分中的极值问题，因而可以直接使用微积分中的方法加以求解。当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时，首先要确定优化的目标，其次确定寻求的决策，以及决策受到哪些条件的限制。在处理过程中，要对实际问题作若干合理的假设。最后用微积分的进行求解。在求出最后决策后，要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。一、存储模型问题的提出工厂定期订购原料存入仓库供生产之用；车间一次加工零件供装配线生产之用；商店成批订购各种商品，放进货柜以备零售；诸多问题都涉及到一个存储量为多大的问题：存储量过大，会增加存储费用；存储量

3、过小，会增加订货次数，从而增加不必要的订购费用.本节讨论在需求稳定的情况下，两个简单的存储模型:不容许缺货和容许缺货的存储模型.1.不容许缺货的存储模型例配件厂为装配线生产若干种部件.轮换生产不同的部件时因更换设备要支付一定的生产准备费用（与产量无关）.同一部件的产量大于需求时需支付存储费用.已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费为5000元,存储费为每日每件一元.如果生产能力远大于需求，并且不容许出现缺货，试安排生产计划:即多少天生产一次（生产周期）、每次产量多少可使总费用最少？分析⑴若每天生产一次，无存储费，生产准备金5000元，故每天的总费用为5000

4、元；⑵若10天生产一次，每次生产1000件，准备金5000元，存储费900+800+…+100=4500元。平均每天950元。⑶若50天生产一次，每次生产5000件，准备金5000元，存储费4900+4800+…+100=122500元，平均每天2500元。以上分析表明:生产周期过短，尽管没有存储费，但准备费用高,从而造成生产成本的提高；生产周期过长,会造成大量的存储费用,也提高了生产成本.由此可以看到,选择一个合适的生产周期，会降低产品的成本；从而赢得竞争上的优势。模型假设为处理上的方便，假设模型是连续型的，即周期，产量均为连续变量.1.每天的需求量为常数；2.

5、每次生产的准备费用为每天每件的存储费为3.生产能力无限大，即当存储量为零时，件产品可以立即生产出来.建模设存储量为以递减，直到则有⑴在一个微小时间中段中，存储费为因而在一个周期中，总存储费用为准备费用为，故总费用为所以，每天的平均费用为⑵⑶模型求解原问题转变为使⑶取极小值的问题。利用求极值的方法，对⑶式求导，并令其为零:即有:⑷而⑸将⑷代入到⑶式，得最小的平均费用为⑹⑷，⑸被称为经济订货批量公式（EOQ公式）.结果解释由⑷，⑸式可以看到，当（准备费用）提高时，生产周期和产量都变大；当存储费增加时，生产周期和产量都变小；当需求量增加时，生产周期变小而产量变大。这些结

6、果都是符合常识的。以代入⑷、⑸式得元.注意的是：用此公式计算的结果与原题有一定的误差，原因在于变量选择的不同.敏感性分析讨论参数对生产周期的影响.我们用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度.对的敏感程度记为定义式为再由得⑺而代入上式，得同理可得:即：每增加，增加每增加，减少注此模型也可适用于商店的进货问题.3.容许缺货的模型下面讨论的是容许缺货的问题.为此做以下的假设:生产能力无限大（相对于需求量），容许缺货，每天每件产品缺货造成的损失费为但缺货量在下次补足。建模因存储量不足而造成缺货时，可以认为存储量为负值（如图所示），周期仍记为是每周期的存储量，当时，故有在到

7、这段缺货时间内需求率不变，按原斜率继续下降，由于规定缺货量需补足，所以在时数量为的产品立即达，⑻使下周期初的存储量恢复到则每天的平均费用为⑼与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是乘以图中三角形的面积，缺货损失费是乘以三角形面积加上准备费，得一周期内的总费用为⑽解模为求使达到最小的在⑽中分别对求偏导，并令其为零，即由第二个方程,得再由第一个方程,得即再代入前一式,有由于每周期的供货量为有记⑾⑿⒀与不容许缺货模型的结果⑷、⑸进行比较，得到⒁结果分析由⒀式知再由⒁知此说明周期及供货量应增加，周期初的存储量减少。缺货损失费越大，越小（越接近1），从而由此说明不容许缺

8、货是容许缺