2017年全国高中数学联赛一试(A卷)答案.pdf

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1、2017年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设fx()是定义在R上的函数，对任意实数x有fx(3)fx(4)

2、1．又当07x时，fx()log(9x)，则f(100)的值为．21答案：−．21解：由条件知，fx(14)fx()，所以fx(7)111ff(100)(100147)f(2)．f(5)log42222.若实数xy,满足xy2cos1，则xycos的取值范围是．答案：[1,31]．解：由于，故．由可知，．因此当时，有最小值（这时y可以取）；当时，有最大值12（这时y可以取）．由于(x1)1的值域是[1,31]，从而xycos的取2值范围是[1

3、,31]．22xy3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为1，F为C的上焦910点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为．311答案：．2解：易知AF(3,0),(0,1)．设P的坐标是(3cos,10sin),0,，则2311sin()．2311其中．当时，四边形OAPF面积的最大值为．214.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是．答案：75．解：考虑平稳数abc．若b0

4、，则ac1,{0,1}，有2个平稳数．若b1，则ac{1,2},{0,1,2}，有236个平稳数．若28b，则acb,{1,,bb1}，有73363个平稳数．若b9，则ac,{8,9}，有224个平稳数．综上可知，平稳数的个数是2663475．5.正三棱锥P−ABC中，AB1,AP2，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面α所成角的余弦值为．35答案：．10解：设ABPC,的中点分别为KM,，则易证平面ABM就是平面．由中线长公式知，22231

5、5所以KMAMAK．2223又易知直线PC在平面上的射影是直线MK，而CM1,KC，所以2，35故棱PC与平面所成角的余弦值为．106.在平面直角坐标系xOy中，点集K(,)

6、,xyxy1,0,1．在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为．4答案：．7y解：易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的A1A2A33方式数为C84种．9将K中的点按右图标记为AA,,,,AO，其中有8128A8OA4x对点之间的距离为5．由对称性，考虑取AA,两点的情14

7、况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7856个三点A7A6A5组（不计每组中三点的次序）．对每个Ai(1,2,,8)，Ki中恰有AA,两点与之距离为5（这里下标按模8理解），因而恰有ii35{,AAAi,}(1,2,,8)这8个三点组被计了两次．从而满足条件的三点组个ii35i484数为56848，进而所求概率为．84727.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．若A，3ABC的面积为3，则AMAN的最小值为．答案：．解：由条件知，，，故．1

8、3由于3SABACsinAABAC，所以，进ABC24一步可得，从而．24当AB,AC23时，的最小值为．438.设两个严格递增的正整数数列{an}，{bn}满足：ab10102017，对任意正整数n，有an21anabnn,21bn，则ab11的所有可能值为．答案：13,20．解：由条件可知：aab121,,均为正整数，且．由于，故．反复运用{an}的递推关系知，因此21aab11010512bb12(mod3

9、4)1，而，故有．①另一方面，注意到，有，故．②当时，①，②分别化为，无解．当时，①，②分别化为，得到唯一的正整数，此时．当时，①，②分别化为，得到唯一的正整数，此时．综上所述，ab的所有可能值为13,20．113二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．29.（本题满分16分）设km,为实数，不等式x−−≤kxm1对所有xab[,]成立．证明：ba22