椭圆性质的证明.doc

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1、椭圆性质的证明与证明:性质1、椭圆上一点P处的切线平分焦点三角形外角的证明：题目：已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一点。求证：点P处的切线PT必平分在P处的外角.在解答此题之后，我们还得到一个重要的定理.证法1设.对椭圆方程两边求导得，yxF1ODF2TP12N1324M∴∴又，，由到角公式知，同理.∵，∴，又，∴证法2设，，，如图1，过、作切线PT的垂线，垂足分别为M、N.∵切线PT的方程为，则点、到PT的距离为，∴∴∽∴,又∵∵.两种证法都是由导出，如图，设PD为法线（即PD切线PT），则PD平分，故得如下重要定理.定理在椭圆上任

2、意一点P的法线，平分该点两条焦半径的夹角.（到角公式）把直线L1依逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，叫做L1到L2的角，简称到角.tanθ=(k2-k1)/(1+k1·k2)性质2．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导（1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形称之为椭圆焦点三角形．（2）面积公式推导解：在中，设，，，由余弦定理得图1F1xyOPF2∴即，∴=．例1．焦点为的椭圆上有一点M，若，求的面积．解：∵，∴，∴．例2．在椭圆的中，是它的两个焦点，B是短轴的一个端点，M是椭圆上异于顶点的点，求证：．证明：如图2

3、，设M的纵坐标为，图2F1xyOMF2B∵，∴，即，又都是锐角，故从而有．性质3、双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．（1）定义：如图3，双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形．（2）面积公式推导：解：在中，设，，，由余弦定理得图3F1xyOPF2∴即，∴=．例3、已知双曲线，设是双曲线得两个焦点．点P在双曲线上，，求的大小．解：双曲线的标准方程为，∴，从而有=，∴，∴．例4：椭圆与双曲线的公共焦点为，P是两曲线的一个交点，求的值．解：在椭圆和双曲线中异算面积∵，∴，∴．开拓：从上例我们不难发现，若椭圆

4、和双曲线有公共的焦点和公共点P，那么的面积，又，从而，即．性质4：若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.证明：设.对椭圆方程两边求导得，∴∴由点斜式：，又因为在上，所以，整理即得：