中国石油大学华东期末高数题.docx

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1、第二十届高等数学竞赛试卷专业年级:学号:姓名:成绩:页号一二三四五六七八总分得分说明:1.答案必须写在题目指定的空白处,否则无效.2.题目所在页背面为草稿纸.3.试卷正文共7页.中国石油大学(华东)教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2006年6月4日一、填空题(每小题5分,本题共50分):1.若时,与是等价无穷小,则.解题过程是:2..解题过程是:3.设函数在处连续,则.解题过程是:4..解题过程是:5..解题过程是:解题过程是:7.解题过程是:8.解题过程是:9.解题过程是:0.设在上半平面内,函数具有连续偏导数,且对任意的都有.

2、 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,则.解题过程是:二、计算题(每小题6分,本题共42分):解题过程是:2.设是锥面的下侧,计算曲面积分..解题过程是:解题过程是:解题过程是:解题过程是:解题过程是:三、证明题(本题8分):中国石油大学(华东)第二十届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题(每小题5分,本题共50分):1.若时,与是等价无穷小,则..解当时,,.于是,根据题设有,故a=-4.2..解=,而,故原式=3.设函数在处连续,则.解由题设知,函数在处连续,则,又因为.所以.4..5..解:本题积分区域为全平面,但只有当时,被积函数才不为零

3、,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.7.8.9.10.设在上半平面内,函数具有连续偏导数,且对任意的都有. 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,则.解两边对求导得           .            令,则 ,. 即   ①     设,则       .   则由①可得 . 故由曲线积分与路径无关的定理可知,对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,都有        二、计算题(每小题6分,本题共42分):2.设是锥面的下侧,计算曲面积分..解设:,取上侧,则     .而 =,  .所以 .三、证明题(本题8分):Y解(I

4、)l2CoXl3如图,将C分解为:,另作一条曲线围绕原点且与C相接,则.(II)设,在单连通区域内具有一阶连续偏导数,由(Ⅰ)知,曲线积分在该区域内与路径无关,故当时,总有.①②比较①、②两式的右端,得④③由③得,将代入④得 所以,从而中国石油大学(华东)第二十一届高等数学竞赛试卷专业年级:学号:姓名:成绩:页号一二三四五六七总分得分说明:1.答案必须写在题目指定的空白处,否则无效.2.题目所在页背面为草稿纸.3.试卷正文共7页.中国石油大学(华东)教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2007年6月10日一、填空题(每小题5分,本题共

5、50分):1.若时,与是等价无穷小,则.解题过程是:2..3.曲线,渐近线的条数为:.4..5.微分方程.6..7.解题过程是:8.设函数的一个原函数是,则=.解题过程是:9.=.解题过程是:0.设曲线,.解题过程是:二、计算题(每小题6分,本题共42分):解题过程是:2.设,计算曲面积分解题过程是:解题过程是:解题过程是:6.设曲面,计算曲面积分.解题过程是:解题过程是:三、证明题(本题8分):中国石油大学(华东)第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题(每小题5分,本题共50分):1.若时,与是等价无穷小,则.解题过程是:若时,与是等价

6、无穷小,,则,故.2..解题过程是:.3.曲线,渐近线的条数为:3..解题过程是:曲线渐近线有3条:垂直渐近线,水平渐近线,斜渐近线.4..5.微分方程.解题过程是:6..解题过程是:7.解题过程是:解:令,是奇函数,得=8.设函数的一个原函数是,则=.解题过程是:=.9.=解题过程是:10.设曲线,.解题过程是:.二、计算题(每小题6分,本题共42分):解题过程是:又故曲线L的方程为:.2.设,计算曲面积分解题过程是:而故解题过程是:解题过程是:等式两边对t求导得解题过程是:解:(1)的驻点内的驻点为:.(2)构造拉格朗日函数:条件极值驻点为

7、:(3)比较最小值为0。最大值为8.6.设曲面,计算曲面积分.解题过程是:解:由曲面的对称性和被积函数对称轮换性,==,======.解题过程是:三、证明题(本题8分):证:构造辅助函数则证明思路使得再用两次罗尔定理得到结论.(1)则使得已知,用罗尔定理,与,使得,,进而,使得,即(2)则与,。使得,,由连续函数的零点定理,存在介于之间的使得又,由罗尔定理,与,使得,,进而,使得,即综合上述,,使得证毕.A卷2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》试卷专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期2007年7月2日页号一二三四五

8、总分得分阅卷人说明:1.本试卷正文共5页。2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3.答案必须写在该题后的横线上,解题过程写在下方空白处,不得写在草稿

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