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1、把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类，这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路。—伽罗华1.5把握数学和的韵律前面我们看到了各种数学的“和”：数的和、式的和、方程解的和、函数图象的和、有向线段的和、相似图形的和、级数的和、积分和等。除此外，数学中还定义了各种各样的和：向量的和、矩阵的和、行列式的和、集合的和（并）、随机事件的和、逻辑和等等。这些和有什么区别？是否可以分类？有什么共性？是否可以统一？是否也是和谐的呢？这一节，我们在对其他各种和作简单介绍后，试图
2、对上述问题作点探讨。1.5.1和的分类为了方便，我们把两个或者几个相加的数、式、解、图形等统称为元素。同类元素可以相加，和仍然是同类元素。有些元素相加，其和的数量是唯一确定的，保持相等关系，例如数、式、解的和；有些元素相加，其和的数量不再保持相等关系，例如有向线段，两条有向线段相加还是有向线段，但它们的长度和并不相等（仅在特殊情况下相等）。我们把和的数量保持相等关系的和称为等量和，否则称为非等量和，特别是像有向线段的和满足三角不等式：
3、
4、+
5、
6、≥
7、
8、，不妨称为三角和。1．等量和前面提到的和，除了有向线
9、段的和以外都是等量和。为了使行列式的和保持等量关系，它的定义与矩阵的和是完全不同的。两个矩阵只有在行数与列数分别相同时才能相加：若s行n列矩阵A=，B=，则它们的和定义为C=。由于矩阵仅仅是一个数表，本身没有数量意义，因此其和不可能是等量和。而且A，B的特征与C的特征没有什么直接的关系。但如果把矩阵看作s×n维向量，那么矩阵和是三角和。而行列式本身就是一个数，因此任意两个行列式都可以相加，但一般要计算出每个行列式之后再求和。仅当两个行列式阶数相同，除了某一行（或列）外，其余的数都相同时，两个行列式可以
10、直接相加：+=。行列式的和是一个等量和，可以看作行列式的一个性质，有时用来计算行列式，比较简单。例==+=0+=+=0-3=-18。等量和一般不能推广到无限，例如级数的和一般不等于和的级数，只有收敛级数的和才等于和的级数。就是说+=是有条件的。例+是没有意义的，而恒为0。但是+=。2．三角和n维向量的和、集合的和（并）、随机事件的和、逻辑和等与有向线段的和类似，都是三角和。如果舍弃这些和的元素差异，都满足三角不等式，就是这类和的共性。（1）两个n维向量（一行或一列的矩阵），的和是：，定义了向量的模（长
11、度）后，可以证明。例（1,2,2）+（2,1,2）=（3,3,4），但
12、(1,2,2)
13、+
14、(2,1,2)
15、=6，
16、(3,3,4)
17、=<6.（2）两个集合A与B的和即A与B的并，A+B=AB，记集合中元素的个数为card（A）（或
18、A
19、），则显然有card（A）+card（B）≥card（A+B）（或
20、A
21、+
22、B
23、≥
24、AB
25、）。例A={1,2,3}，B={3,4,5}，card（A）+card（B）=6；AB={1,2,3,4,5}，但是card（A+B）=5<6。如果规定集合的和A+B=(A-B)(
26、B-A)，那么这个集合和是等量和，其中集合的差A-B是集合A中去掉B中的元素。（3）概率论中，随机事件A，B的和事件定义为A+B，表示A，B中至少有一个发生。它的概率也满足三角不等式：P(A)+P(B)≥P(A+B).例A=“100以内正整数中3的倍数”，B=“100以内正整数中5的倍数”，A+B=“100以内正整数中3或5的倍数”，则P(A)=0.33，P(B)=0.2，但是P(A+B)=0.47<0.53。（4）逻辑代数也叫做布尔代数，二值布尔代数是用文字A，B，…代替集合{0，1}中的元素（如真
27、、假命题），逻辑和的规定如下：A0011B0101A+B0111显然，0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，是满足三角不等式的。逻辑代数是二进制的数学，世界上不可能有比二进制更简单的计数方法了，也不可能有比布尔运算更简单的运算了。尽管今天每个搜索引擎都宣称自己如何聪明、多么智能化，其实从根本上讲都没有逃出布尔运算的框框。等量和与非等量和除了数量外，还应该有不同的运算性质，是否与方程的解是不等式解的边缘那样，等量和也应该是三角和的边缘。1.5.2和的统一纵观所有“和”，它们都是某种非空集合G内
28、的一种二元运算*，这种运算有如下的性质：（1）封闭性：若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c；（2）结合律成立：任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c)；（3）单位元存在：存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元；（4）逆元存在：任意a∈G,存在唯一确定的b∈G，a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元；（5）交换律成立：任意a,b∈G，有a*b=b*a。仅满足性质（1）的代数系统（G，*
