中考数学压轴题破解策略专题14《共顶点模型》.doc

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1、专题14《共顶点模型》破解策略1．等边三角形共顶点等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；（4）FC平分∠BFE；（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（6）△CGH为等边三角形．证明（1）由已知条件可得，则△BCD≌△ACE．（2）由（1）得AE＝BD；（3）由（1）得∠GAF＝∠GBC，而∠AGF＝∠BGC，所以∠DFE＝∠AFB＝∠ACB＝60°．（4）方

2、法一如图1，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N．由（1）知S△ACE＝S△BCD，即BD·CM＝AE·CN，所以CM＝CN，故FC平分∠BFE．方法二由∠CAF＝∠CBF，可得A、B、C、F四点共圆，所以∠BFC＝∠BAC＝60°．同理可得∠CFE＝∠CDE＝60°．所以FC平分∠BFE．（5）如图2，作∠FCI＝60°，交BD于点I，则△CFI为等边三角形．易证△BCI≌△ACF，所以BI＝AF，IF＝CI＝FC．从而BF＝BI＋IF＝AF＋CF．同理可得EF＝DF＋FC．（6）易证△ACH≌△BCG（ASA）可得

3、CG＝CH，而∠GCH＝60°，所以△CGH为等边三角形．2．等腰直角三角形共顶点等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，则：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）AE⊥BD；（4）FC平分∠BFE；（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2（6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；（8）S△ACD＝S△BCE证明（1）（2）（3）（4）证明见“等边三角形共顶点

4、”；（5）因为AE⊥BD，由勾股定理可得AB2＋DE2＝（AF2＋BF2）＋（DF2＋EF2），AD2＋BE2＝（AF2＋DF2）＋（BF2＋EF2）所以AB2＋DE2＝AD2＋BE2（6）如图3，过点C作CK⊥FC，交BD于点K，则△CFK为等腰直角三角形．易证△BCK≌△ACF，所以BK＝AF．从而BF＝BK＋KF＝AF＋FC，同理可得EF＝DF＋FC．（7）①如图4，延长GC，交AD延长线于点H，延长CG至点K，使得GK＝GC，连结BK．易证∠KBG＝∠CEG，BK＝EC＝CD．由题意可得∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠C

5、EB＋∠BCE＝180°，所以∠ACD＝∠CBE＋∠CEB＝∠CBG＋∠GBK＝∠CBK．可得△ACD≌△CBK（SAS）则∠CAD＝∠BCK，所以∠ACH＋∠CAH＝∠ACH＋∠BCK＝90°，故GC⊥AD．②如图5，CJ⊥BE，延长JC交AD于点T，分别过点A，D作IJ的垂线，垂足分别为M、N．由已知可得△AMC≌△CJB；△DNC≌△CJE，所以AM＝DN＝CJ，故有△AMI≌△DNI，所以AI＝DI，即可证．（8）在（7）中的证明过程中可得到S△ACD＝S△BCE；也可以用下面的方法来证明如图6，过点D作DP⊥AC于点P

6、，过点E作EQ⊥BC，交BC延长线于点Q．易证△DPC≌△EQC（AAS）．所以DP＝EQ，故DP·AC＝EQ·BC，即S△ACD＝S△BCE3．等腰三角形共顶点等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．连结BD，AE交于点F，则：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠ACB；（4）FC平分∠BFE．4．相似三角形共顶点△ACB与△ECD中，，∠ACB＝∠ECD．连结BD，AE交于点F，则：（1）△BCD∽△ACE；（2）∠AFB＝∠ACB．证明（1）由已知可得所以△AC

7、E∽△BCD．（2）由（1）可得∠CAF＝∠CBF．设AC与BD的交点为G，则∠AGF＝∠BGC，所以∠AFB＝∠ACB．例题讲解例1如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连结DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝．（1）如图2，当∠CDE＝45°且＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连结BF，AF．①若＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含的式子表示）解（1）A

8、D＋DE＝4．（2）①如图4，连结AE交BC于点G，设DE与BC的交点为H．由“等腰直角三角形共顶点”可得△ADE≌△BDC（SAS）所以AE＝BC，∠EGC＝∠EDC＝90°因为线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF．所以AE＝BC＝FE＝4，AE⊥EF