基尔霍夫定律.docx

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1、3.2KCL和KVL的独立方程数①②123一、KCL的独立方程数④①②③123456对结对结点①：-i1+i2+i3=0对结点①：i1-i4-i6=0对结点②：i1-i2-i3=0对结点②：-i1-i2+i3=0独立方程数是1对结点③：i2+i5+i6=0对结点④：独立方程数是3一般情况：对有n个结点的电路，就有n个KCL方程。每条支路对应于两个结点,支路电流一个流进,一个流出。如果将n个结点电流方程式相加必得0=0，所以独立结点数最多为(n–1)。可以证明：独立结点数恰为(n–1)个。即n个方程中的任何一个方程都可以从其余(n–1)个方程推出来。结论：对于具有n个

2、结点的电路，在任意(n-1)个结点上可以得出(n-1)个独立的KCL方程。这些(n-1)个结点称为独立结点。①⑤④③12345678二、KVL的独立方程数先介绍一些概念。路径：从图的某个结点出发，沿着一些支路移动，到达另一结点或原出发点。这样的一系列支路构成图的一条路径。连通图：任意两个结点间至少存在一条路径的图。回路：一条路径的起点和终点重合，且经过的其他结点都相异。①⑤④③12345678这样的闭合路径构成一条回路。图中，(1,5,8)、(3，6，7)、(1，2，3，4)等都是回路。此图中共有13条不同的回路。根据KVL，13条不同的回路，可以列出13个方程。是

3、否都是独立的方程？例如，根据KVL可得：回路(1,5,8)：U①②+U②⑤+U⑤①=0回路(5,2,6)：U⑤②+U②③+U③⑤=0回路(1,2,6,8)：U①②+U②③+U③⑤+U⑤①=0以上3式显然不独立。任何一个方程可以由其他2个方程导出。也就是说，这3个回路中，只有2个独立回路。一个图中通常有多条回路。但不一定都是独立回路。到底该如何确定独立回路？下面先引入树的概念。树的定义：一个连通图G的树T包含G的全部结点和部分支路，而数T本身是连通的，且不包含回路。例(上页图)④①⑤③②5678①⑤④③②1356①⑤④③②25678①⑤④③②258树支：树中包含的支路

4、。连支：除树枝以外的图的其他支路。①⑤④③②13564827④①⑤③②56781234树支：(5,6,7,8)树支：(1,3,5,6)连支：(1,2,3,4)连支：(2,4,7,8)显然，树支和连支构成图的全部支路。①⑤④③②258④⑤③②5678①⑤④③②1356①⑤④②25678可以证明，任一个具有n个结点的连通图，它的任何一个树的树支数为(n-1)。①⑤④③②13564①⑤④③②13562①⑤④③②13564827①⑤④③②13567①⑤④③②13568树中加入一条连支后，就会形成一条回路。且此回路除所加的连支外，均由树支组成。这种回路叫单连支回路或基本回路。

5、显然，与本树对应的基本回路是(2,5,6),(1,5,6,3,4),(3,6,7),(1,5,8)。基本回路(或单连支回路)的特点：每一个基本回路仅含一个连支。且这一连支并不出现在其他基本回路中。一方面，对图中所有的基本回路列KVL方程，就可以得到KVL方程组。显然根据基本回路列出的KVL方程组是独立方程；另一方面，图中的其他回路都可由基本回路相加得到，故不再有新的独立回路。因此：对于一个结点数为n，支路数为b的连通图，其独立回路数l=(b-n+1)。[因支路数=b，树支数=n-1，故l=b-(n-1)]即一个电路的KVL独立方程数=b-n+1①⑤④③②123456

6、789平面图非平面图网孔b=9,n=5则l=b-n+1=5b=10,n=5则l=b-n+1=6           平面图：若把一个图画在平面上，能使它的各条支路除了连接的结点外不再交叉。否则称非平面图。平面图中的自然的网眼，称为网孔。平面图的全部网孔是一组独立回路。所以平面图的网孔数等于独立回路数(或KVL独立方程数)。   关于平面电路、非平面电路(平面图、非平面图)平面电路可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。非平面电路在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。∴是平面电路总有支路相互交叉∴是非平面电路例3.114352平面电路？非平面电路？b=12n=8K

7、CL：n-1=7KVL：b-n+1=5平面电路网孔数=5故KVL：5例3.2：试列出下图的KVL方程（利用树的概念）425361④①②③14253④①②③6指定树指定电流电压参考方向指定回路绕行方向ⅡⅢⅠ回路Ⅰ：U1+U3+U5=0回路Ⅱ：U1-U2+U4+U5=0回路Ⅲ：-U5-U4+U6=0