二次根式的概念和性质(提高)知识讲解.doc

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1、二次根式的概念和性质（提高）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘

2、方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质1、；2.；3..要点诠释：1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值.2).≥0时，==；<0时，无意义，=.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开放数是分数或分式；（2）含有能开

3、方的因数或因式.要点四、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：　　(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似).要点诠释：　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；　　

4、(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】x≥-且x≠-1.【解析】依题意，得,　　　　由①得：x≥-,　　　　由②得：x≠-1,　　　　当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三【变式】方程，当时，的取值范围是（）A．B.≥2C.D.≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x的取值范围：　　(1)；(2).【答案与解析】(1)　　　(2)【总

5、结升华】二次根式性质的运用.举一反三【变式】（2014春•铁东区校级月考）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.（2015•罗平县校级模拟）已知，1≤x≤3，化简：=_______.【思路点拨】由题意1≤x≤3，可以判断1﹣x≤0；x﹣3≤0，然后再直接开平方进行求解．【答案】2.【解析】解：∵1≤x≤3，∴1﹣x≤0，x﹣3≤0，∴=x﹣1+3﹣x=2.【总结升华】此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题．4.已

6、知为三角形的三边，则=．【答案】.【解析】为三角形的三边,,即原式==.【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.类型三、最简二次根式5.已知0<<,化简.【答案与解析】原式===.【总结升华】成立的条件是>0;若<0,则.类型四、同类二次根式6.如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么、的值是()A.=2，=1　B.=1，=2C.=1，=-1　D.=1，=1【答案】D.【解析】根据题意，得,解之，得，故选D.【总结升华】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得

7、到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式】若最简根式与根式是同类二次根式，求、的值．【答案】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简==

8、b

9、×由题意得，∴，∴=1，b=1.