因式分解之十字相乘法专项练习题.pdf

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1、十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式22多项式axbxc，称为字母x的二次三项式，其中ax称为二次项，bx为一次22项，c为常数项．例如，x2x3和x5x6都是关于x的二次三项式．22在多项式x6xy8y中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项

2、式．222在多项式2ab7ab3中，把ab看作一个整体，即2(ab)7(ab)3，就是2关于ab的二次三项式．同样，多项式(xy)7(xy)12，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：2（1）对于二次项系数为1的二次三项式xpxq，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么

3、它就可以运用公式2x(ab)xab(xa)(xb)分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．2（2）对于二次项系数不是1的二次三项式axbxc(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a,a,c,c，使aaa，ccc，且acacb，12

4、121212122122那么axbxcaax(acac)xcc(axc)(axc)它的特征121221121122是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使

5、十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系22数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：5x6xy8y(x2)(5x4)3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘

6、试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1把下列各式分解因式：222（1）x2x15；（2）x5xy6y．点悟：（1）常数项－15可分为3×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；2（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．2解：（1）x2x15(x3)(x5)；22（2）x5xy6y(x2y)(x3y)．例2把下列各式分解因式：22（

7、1）2x5x3；（2）3x8x3．2点悟：我们要把多项式axbxc分解成形如(axc)(axc)的形式，这里1122aaa，ccc而acacb．121212212解：（1）2x5x3(2x1)(x3)；2（2）3x8x3(3x1)(x3)．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3把下列各式分解因式：4

8、2（1）x10x9；32（2）7(xy)5(xy)2(xy)；222（3）(a8a)22(a8a)120．22点悟：（1）把x看作一整体，从而转化为关于x的二次三项式；（2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式；22（3）以(a8a)为整体，转化为关于(a8a)的二次三项式．4222解：（1）x10x9(x1)(x9)＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．32（2）7(xy)5(xy)2(xy)2(x