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1、内蒙古电大学刊2006年第10期(总第86期)证明组合恒等式的方法与技巧柳丽红(山西机电职工学院大众分院,山西太原030024)[摘要]以高中二项式定理和排列组合知识为理论基础,对几个常见重要的例题作分析,总结组合恒等式常见的证明方法与技巧。[关键词]组合组合数组合恒等式二项式定理组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技变形,然后整理而得到求证。mmm-1012巧,且灵活性很强,下面就以例题讲解的形式,把证证明:Cn+1=Cn+
2、CnCn+Cn+1+Cn+2+明组合恒等式的常见方法与技巧列举出来。m-1012m-1L+Cn+m-1=Cn+1+Cn+1+Cn+2+L+Cn+m-1=1.利用组合公式证明C12m-12m-1n+2+Cn+2+L+Cn+m-1=Cn+3+L+Cn+m-1=mn!m-1012m-1m-1组合公式:Cn=Cn+mCn+Cn+1+Cn+2+L+Cn+m-1=Cn+mm!(n-m)!mnm-1m+1m+13.利用二项式定理证明例1求证:Cn=Cn-1=Cn,分析:mn-m我们都知道二项式定理:这
3、题可以利用组合公式解决,等式两边都只是一个nn1n-12n-22n-1(a+b)=a+Cnab+Cnab++Cn简单的组合数。由此,我们只要把相关组合公式代abn-1+bn,对于某些比较特殊的组合恒等式可以用入,经过化简,等号两边相等即可。它来证明,下面以两个例子说明:证明:Cmn!=n3.1直接代值n=m!(n-m)!m122n-1例3求证明:1+3Cn+3Cn++3n!n-1n2n(m-1)!(n-m)!Cn+3=2in-iinm-1m+1n!分析:上题左边的各项组合数都是以
4、Cnab=Cn-1,mn-m(m+1)!(n-m)!的形式出现,这样自然全联想到二项式定理。用直n!m==Cn接代值法。此方法的关键在于赋值,在一般情况,a,m!(n-m)!mnm-1m+1m+1b值都不会很大,一般都是0,1,-1,2,-2,3,-3Cn=Cn-1=Cnmn-m这些数或简单字母,而且a,b值与恒等式右边也有技巧:此方法思路清晰,对处理比较简单的等式必然的联系,在做题的时候要抓住这点。证明很有效,但运算量比较大,如遇到比较复杂一点1-a1-a21-a3012例4求证:Cn-
5、Cn+Cn-的组合恒等式,此方法不可取。1-a1-a1-a4n+1n2.利用组合数性质证明1-aC3n1-aCna(1-a)n+L+(-1)n=1-a1-a1-a组合数的基本性质:mn-mmmm-1k分析:本题要用到组合数性质5及二项式定理。(1)Cn=Cn;(2)Cn+1=Cn+Cn;(3)kCn=k-1012nn012证明:左边=1[C0123nCn-1;(4)Cn+Cn+CnCn=2;(5)Cn-Cn+Cn+21-an-Cn+Cn-Cn+L+(-m-1m-1+L+Cn+m+1=Cn
6、+mnn10122331)Cn]=[Cn-aCn+aCn-aCn+L+(-例2求证:C012m-11-an+Cn+1+Cn+2+L+Cn+m-1=nnnm-11)aCn]Cn+m1nan分析:观察到,等式左边各项的组合数的上标和=(1-1)-(1-A)1-a1-a下标存在联系:上标+n=下标,而且各项上、下标是1-a1-a21-a31-a40123Cn-Cn+Cn-Cn+L+递增+1的。由此我们想到性质;(2)将左边第一项1-a1-a1-a1-a86柳丽红证明组合恒等式的方法与技巧
7、教育教学研究n+1n第零种取法为选零个男生和k个女生,第一种取法n1-ana(1-a)(-1)Cn=1-aa-1为选一个男生和(k-1)个女生,L,第i种取法为选i3.2求导代值个男生和(k-i)女生(i=0,1,2,L,k),由乘法原23例5求证:21Cn+32Cn+n(n-1)理,第i种取法共有CimCkn-i种方法,再由加法原理,n-22(n2)0k1k-12k-2k0总的取法有CmCn+CmCn+CmCn+L+CmCn种分析:观察
8、左边各项组合数的系数发现不可以方法。直接运用二项式定理,但系数也有一定的规律,系数nk1k-12k-2k0kCmCn+CmCn+CmCn+L+CmCn=Cm+ni都是i(i-1)i=2,3,n我们又知道(x)=i(i-1)技巧:用组合分析法证明组合恒等式的步骤是:i-2x由此我们想到了求导的方法。选指出式子的一边的某个问题的解,然后应用加法n0122nn证明:对(1+x)=Cn+Cnx+Cnx++Cnx原理和乘法原理等去证明式子的另一边,也是该组n-22两边求二阶导数,得n(n-1)(
