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1、第5卷第4期1996年12月运筹与管理OPERATIONSRESEARCHANDMANAGEMENTSCIENCEVol.5,No.4Dec.1996下料问题数学模型研究卢厚清袁永生(工程兵工程学院，南京.210007)(河海大学数理系数学室，南京，210098)摘要本文讨论了关于合理下料问题线性规则模型的建立，给出了该问题正确的线性规划模型，用反例说明了某些模型的错误并进行了分析。关键词线性规划;数学模型;合理下料1合理下料问题及其数学模型合理下料问题:设用某原材料下零件A,,A2,......9A，的毛坯，根据过去经
2、验在一件原材料上有B,,BZ,"',B。种不同的下料方式，每种下料方式可得各种毛坯个数，每种零件的需要量及余料见下表1，问应怎样安排下料方式，才能既满足需要又使用的原料数量最少?表1设X，表示第j种下料方式所消耗的原材料根数。则该问题的数学模型为:若记则该数学模型可记为:2错误模型及原因分析2.1将不等式约束改为等式约束所建立的模型为错误模型若把合理下料问题的数学模型写成:CX=b(LP2)X>O,X取整数则该数学模型为错误的，反例如下:例1用长100米的条钢来做4套筋架子，每套架子需90米条钢一根、18米条钢二根，问最
3、少需多少根定长为100米的条钢才能做成，见表2。设XI,X:分别表示第1,2种下料方式所消耗的原材料根数。若用上述LP2的方法建模，该问题的数学模型为:xl,x2>0，且为整数很显然该整数线性规划无解。而对应的下料问题应当是有解的，这就说明该模型是不完全正确的。命题1对合理下料问题，下面两线性规划问题的最优值相等、最优解相同。命题1说明:对合理下料问题，在决策变量没有整数约束的条件下，约束取等号和取大于等于是等价的。即两种约束所得的线性规划最优解相同，最优值相等。但加上整数约束后，上述两个线性规划就不等价了，故数学模型L
4、P2是错误的。2.2目标函数用余料之和代替根数之和所建立的模型是错误的若把合理下料间题的数学模型写成:CX>b(LP5)X>O,X取整数则该数学模型为错误的，反例如下:例2用长100米的条钢做4套筋架子，每套架子需10。米条钢一根、40米条钢二根、20米条钢三根，问最少需要多少根定长为100米的条钢才能做成。见表3由于所有下料方式的余料均为0，故若用余料之和来作为目标函数便无意义了。命题2对合理下料问题，下面两线性规划问题最优值相等、最优解相同。可见根数之和与余料之和仅差一常数，所以作为线性规划的目标函数就一样了。命题2
5、说明:对合理下料问题，在约束取等号的条件下，目标函数用根数之和与余料之和是等价的。但当约束条件为大于等于，即:时，所下某些毛坯的根数可能会超过所需的量，从而使得上述等式(*)不成立，所以对合理下料问题，目标函数不能用余料之和代替根数之和，因而模型LP5是错误的。2.3不能随意删除所谓“不好”的下料方式有人在建立模型时，认为某些下料方式的余料太多，便认为该下料方式为不好(拙劣)的下料方式，将其删除掉。事实上，对合理下料问题所列的各下料方式都是合理的下料方式，由于存在搭配，因而随意删除所谓“不好”的下料方式可能会造成错误，反
6、例如下:例3用长100米的条钢来做一套钢筋架子，每套架子需50米条钢3根、20米条钢11根，问最少需要多少根定长为100米的条钢才能做成。见表40该问题的最优下料方案为第2种下料方式用3根，第3种下料方式下骼1根，共需4根。但若将余料最大的第2种下料方式去掉，则该问题的方案为第1下料方式用2根，第2种下料方式用3根，共需5根。命题3对第9.p和k种下料方式进行比较，若存在即在原规划中去掉第k种下料方式。命题3说明在无整数约束条件下，若存在两种下料方式的组合比另一种下料方式好，则该下料方式可以去掉，但加上整数约束后，原规划
7、的对偶规划就不是上述形成，上述命题也就不成立了.因而对合理下料问题不能做上述简化。3例题分析例4用长7.4米的条钢来做loo套钢筋架子，每套架子有2.9米、2.1米和1.5米的条钢各一根，问最少需要多少根定长为7.4米的条钢才能做成。【1】解:本例共有8种下料方式，具体截法和余料见表5该问题的数学模型为:设x，表示第J种下料方案所消耗的原材料根数。但「1」建立的线性规划模型为(下料方案见表6):设x，表示第j种下料方式所消耗的原材料根数。通过本文的分析可知:该线性规划模型有四个错误:(1)决策变量xj(j=1,2,3,4
8、,5)缺少整数约束;(2)约束条件为等式;(3)用余料作为目标函数;(4)下料方式不全，少了3种下料方式。虽然用该模型也求出最优解，但纯属偶然。用同样的方法来解下题便出现错误。例5用长8米的角钢割钢窗用料。每付钢窗含1.5米的料2根，1.45米2根，1.3米6根，0.35米的料12根，若需钢窗100付，问最少需要切割
