圆锥曲线(求轨迹方程)汇总.doc

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1、专题圆锥曲线(求轨迹方程)求轨迹方程的常用方法(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系或F(x,y)=0;(2)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;(3)代入转移法(相关点法):动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程.1.一个区别——“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的.前者只须求出轨迹的方程,标出变量x

2、,y的范围;后者除求出方程外,还应指出方程的曲线的图形,并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据.2.双向检验——求轨迹方程的注意点求轨迹方程,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系,检验应从两个方面进行:一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合实际意义,注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.考向一直接法求轨迹方程【例1】 已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0).(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状.【解】 (1)由题意可知,直

3、线PM与PN的斜率均存在且均不为零,所以kPM·kPN=·=λ,整理得x2-=1(λ≠0,x≠±1).即动点P的轨迹C的方程为x2-=1(λ≠0,x≠±1).(2)①当λ>0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(除去顶点);②当-1<λ<0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点);③当λ=-1时,轨迹C为以原点为圆心,1为半径的圆除去点(-1,0),(1,0).④当λ<-1时,轨迹C为中心在原点,焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点).【对点练习1】已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直

4、线AB的垂线,垂足为N.若2=λ·,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是(  )A.圆  B.椭圆  C.抛物线  D.双曲线【解析】以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立坐标系,设M(x,y),A(-a,0),B(a,0),则N(x,0).因为2=λ·,所以y2=λ(x+a)(a-x),即λx2+y2=λa2,当λ=1时,是圆的轨迹方程;当λ>0且λ≠1时,是椭圆的轨迹方程;当λ<0时,是双曲线的轨迹方程;当λ=0时,是直线的轨迹方程.综上,方程不表示抛物线的方程.【答案】 C考向二定义法求轨迹方程【例2】已知两个定圆

5、O1和O2,它们的半径分别是1和2,且

6、O1O2

7、=4.动圆M与圆O1内切,又与圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.【解】 如图所示,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由

8、O1O2

9、=4,得O1(-2,0),O2(2,0).设动圆M的半径为r,则由动圆M与圆O1内切,有

10、MO1

11、=r-1;由动圆M与圆O2外切,有

12、MO2

13、=r+2.∴

14、MO2

15、-

16、MO1

17、=3.∴点M的轨迹是以O1,O2为焦点,实轴长为3的双曲线的左支.∴a=,c=2,∴b2=c2-a2=

18、.∴点M的轨迹方程为-=1.图881【对点练习2】如图881所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.(1)△PAB的周长为10;(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心);(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).【解】(1)根据题意,知

19、PA

20、+

21、PB

22、+

23、AB

24、=10,即

25、PA

26、+

27、PB

28、=6>4=

29、AB

30、,故P点轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=.因此其轨迹方程为+=1(y≠0).(2)设圆P的半径为r,则

31、PA

32、=r+1,

33、

34、PB

35、=r,因此

36、PA

37、-

38、PB

39、=1.由双曲线的定义知,P点的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=,c=2,b=,因此其轨迹方程为4x2-y2=1.(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故其轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此其轨迹方程为y2=-8x.图882考向三代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图882所示,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且

40、MD

41、=

42、PD

43、.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直

44、线被C所截线段的长度.【解】(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),由已知得∵P在圆上,∴x2+2=25,即C的方程为+=1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程

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