高中数学：圆与方程

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1、1.圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆的标准方程为（）A.(x+8)2+(y-3)2=5B.(x-8)2+(y+3)2=5C.(x+8)2+(y-3)2=25D.(x-8)2+(y+3)2=25半径所以所求的圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.选D.D2.方程y=对应的曲线是（）原曲线方程可化为x2+y2=4（y≤0），表示下半圆,选A.A3.半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相切，则圆的方程为（）A.x2+y2+10y=0B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10

2、x=0或x2+y2-10x=0B设圆心为（0，b），由题意，则圆的方程为x2+（y-b）2=b2.因为半径为5.所以=5,b=±5.故圆的方程为x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.选B.易错点：圆心的位置可能在y轴上半轴或下半轴.4.已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为.设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，对称圆的半径不变，为1，故填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有，解得：a=2b=-2.5.若圆x2+y2+（a2-1）x+2ay

3、-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a=.依题意直线x-y+1=0，过已知圆的圆心　　　　　　所以解得a=3或a=-1，当a=-1时，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圆，所以只能取a=3.填3.易错点：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0仅在D2+E2-4F＞0时才表示圆，因此需检验不等式是否成立.31.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径.2.圆的方程（1）标准方程：以（a,b）为圆心，r（r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.

4、（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为半径当D2+E2-4F=0时，只表示一个点（-D2,-E2）；当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形.3.点与圆的位置关系圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心C（a,b），半径r，若点M（x0,y0）在圆C上，则（x0-a）2+（y0-b）2=r2;若点M（x0,y0）在圆C外，则（x0-a）2+（y0-b）2>r2;若点M（x0,y0）在圆C内，则（x0-a）2+（y0-b）2

5、-b）2=r2关于直线x=0的对称圆的方程为（x+a）2+（y-b）2=r2;关于直线y=0的对称圆的方程为（x-a）2+（y+b）2=r2；关于直线y=x的对称圆的方程为（x-b）2+（y-a）2=r2；关于直线y=-x的对称圆的方程为（x+b）2+（y+a）2=r2.5.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.若AB为圆O的弦，圆心O到弦AB的距离为d，圆半径为r,则重点突破：圆的方程（Ⅰ）求过两点A（1,4）,B（3,2）,且圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点P（2,4）与圆的位置关系.（Ⅱ）求过A（4,

6、1），B（6，-3）C（-3,0）三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心C坐标.（Ⅰ）欲求圆的标准方程，只需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系.（Ⅱ）设出圆的方程，解方程组即可.（Ⅰ）解法1：（待定系数法）设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，因为圆心在y=0上,故b=0，所以圆的方程为（x-a）2+y2=r2又因为该圆过A（1,4）,B（3,2）两点,则（1-a）2+16=r2（3-a）2+4=r2，解得a=-1，r2=20.解法2：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过

7、A（1,4）,B（3,2）两点，所以圆心必在线段AB的中垂线l上,又因为kAB==-1,故l的斜率为1,又AB的中点为（2，3）,故线段AB的中垂线l的方程为x-y+1=0.又知圆心在直线y=0上,故圆心为C(-1，0)，所以半径　　　　　　　　　　故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点P(2,4)到圆心(-1，0)的距离为所以点P在圆外.(Ⅱ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为三点A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标代入方程得，42+12+4D+E+F=062

8、+(-3)2+6D-3E+F=0(-3)2+02-3D+0·E+F=0，解得D=-2E=6F=-15.所以圆的方程为x2+y2-2x+6y-15=0，即（x-1）2+（y+3）2