多元函数极值解法.doc

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1、多元函数极值解法摘要：科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,但是有些问题用初等的方法去解决，有时显得麻烦，有时根本无法解决。鉴于此，本文从一下几方面作了介绍：二元函数极值的定义及存在条件、二元函数极值的一阶偏导判别法；条件极值的求解方法及应用；n元函数极值的定义及存在条件及存在问题、n元函数的累次极值、向量法求解一类多元函数极值。通过以上方法的介绍，旨在为以后的学习和实际工作带给一定的方便。关键词：多元函数；极值；充要条件；方向导数；偏导数；矩阵；驻点；1绪论1.1研究多元函数极值的意义科学生产实际中,存在着很多极值问题需

2、要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值.函数的极值一直是数学研究的重要内容之一，由于它的应用广泛，加之函数本身变化纷繁，所以人们对其方法的研究较多，像不等式法，导数法，从矩阵的角度解决函数极值，利用拉格朗日乘数法解决函数的极值等等。这些理论的提出并得到应用，与诸多数学家在这方面的努力是分不开的，他们给出了许多好的解决函数极值的方法，且将诸理论与实际有机的结合起来，这不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，如在经济，管理，金融，科研等方面提供了便捷的方法，使得许多问题很便利的得以解决。b5E2RGbCAP

3、不等式的证明是数学的学习过程中我们经常遇到，其证明具有很强的技巧性,14/15方法灵活多变,同时对综合能力和分析能力的要求都很高。目前有多种形式的方法来证明不等式.但在本文中给出了应用多元函数条件极值的解法来证明不等式的方法,即在不等式证明中,适当变换目标函数和相应的限制条件,结合实际问题的提法来证明不等式。在本文中就以用拉格朗日乘数法来证明不等式的方法以举例的形式略作了介绍。p1EanqFDPw1.一元函数极值我们先来讨论函数的极值，且总假定在上是连续的。若对于一点，存在的某一邻域<，使对于此邻域中的任意点，都有，则称在有一极大值，称为极大值点，同样我们可以定义

4、函数的极小值。若在上述的中等号不成立，我们就称为是严格极大值.同样可以定义严格极小值。DXDiTa9E3d定理1<极值的必要条件）若是的极值，那么只可能是的零点或的不可导点。定理2(极值判别法之一>设在和<可导，那么⑴若在内，而在内，则为极小值点。⑵若在内，而在内，则为极大值点。定理3<极值判别法之二）设，⑴若，则是极大值。⑵若，则是极小值。2二元函数极值2.1二元函数极值的定义及存在条件科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值。2.1.1二元函数极值的定义14/15定义1：设，函数:DR,

5、点D,如果存在一个邻域,使得(p>(>((p>(>>对一切成立,那么称为的一个(严格>极小值点,而(>称为函数的一个(严格>极小值。RTCrpUDGiT同样定义(严格>极大值点和(严格>极大值.极小值和极大值统称极值。2.1.2二元函数取得极值的条件定理1<必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在点的偏导数必然为零；证明：不妨设在点处有极大值，则对于的某邻域任意都有＜故当时，有说明一元函数在处有最大值，必有；类似地可证。D中使的一切内点称为函数的驻点，由上面的定理知道，极值点一定是驻点，但是驻点未必是极值点。定理2<充分条件）设函数在点的某邻域内连续

6、，有一阶及二阶连续偏导数，又，令,,则在点处是否取得极值的条件如下：⑴时具有极值，当时有极大值，当A＞0时有极小值；⑵时没有极值；⑶时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论；例1：求函数的极值。14/15解：令在驻点，有，，。而，故在点取得极小值，。2.2二元函数极值的一阶偏导判定方法对二元函数极值的判定，不仅可以借助于二阶导数进行判定，还可以借助于使用范围更广泛的一阶导数进行判定。2.2.1判别方法定理1：设二元函数在凸区域D上有定义，在上连续，点，在上可导：⑴若，则在取得极小值。⑵若，则在取得极大值。证明：，引入辅助函数：其中。由条件知在上满足拉格朗日中值定

7、理的条件，于是存在，使得，即14/15注意到D为凸区域，从而.由条件⑴可知：，由的任意性以及极值的定义，可知，函数在取得极小值。同以上证明方法可以得到，在条件⑵下，函数在取得极大值。结论⑵证毕。5PCzVD7HxA考虑到条件⑴，⑵的结构，若记，引入中的内积则可将定理写成更简洁的形式。2.2.2推广在引入上述记号后，我们可以将问题推广到n维情形：定理2：设为凸区域，，若，在连续，在可导，⑴若，，则函数在处取得极小值。⑵若，，则函数在处取得极大值。证明同定理1，此处不再赘述。2.2.3应用与一元函数相同，由于二元函数极值的一阶偏导数准则比利用二阶偏导的判别法要求的条件

8、弱，从而一