高中数学《导数的实际应用》同步练习4 新人教B版选修2-2.doc

高中数学《导数的实际应用》同步练习4 新人教B版选修2-2.doc

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1、导数的实际应用第1题.2007海南、宁夏文)设函数(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值.答案:解:的定义域为.(Ⅰ).当时,;当时,;当时,.从而,分别在区间,单调增加,在区间单调减少.(Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为.又.所以在区间的最大值为.第2题.(2002海南、宁夏理)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(  )A.B.C.D.答案:D第3题.(2007海南、宁夏理)设函数.(I)若当时,取得极值,求的值,并讨论的单调性;(II)若存在极值,求的取值范围,并证明所有极值之和大于.答案:解:(Ⅰ),32用心爱心专心依题意有,故.从而.的

2、定义域为.当时,;当时,;当时,.从而,分别在区间单调增加,在区间单调减少.(Ⅱ)的定义域为,.方程的判别式.(ⅰ)若,即,在的定义域内,故无极值.(ⅱ)若,则或.若,,.当时,,当时,,所以无极值.若,,,也无极值.(ⅲ)若,即或,则有两个不同的实根,.当时,,从而在的定义域内没有零点,故无极值.32用心爱心专心当时,,,在的定义域内有两个不同的零点,由极值判别方法知在取得极值.综上,存在极值时,的取值范围为.的极值之和为.第4题.(2007湖南理)函数在区间上的最小值是.答案:第5题.(2007湖南文)已知函数在区间,内各有一个极值点.(I)求的最大值;(I

3、I)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.答案:解:(I)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个实根,设两实根为(),则,且.于是,,且当,即,时等号成立.故的最大值是16.(II)解法一:由知在点处的切线的方程是,即,因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,则不是的极值点.32用心爱心专心而,且.若,则和都是的极值点.所以,即.又由,得.故.解法二:同解法一得.因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号.于是存在().当时,,当时,

4、;或当时,,当时,.设,则当时,,当时,;或当时,,当时,.由知是的一个极值点,则.所以.又由,得,故第6题.(2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,,则_____.答案:第7题.(2007江西理)设在内单调递增,,则是的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:B32用心爱心专心第8题.(全国卷I理)设函数.(Ⅰ)证明:的导数;(Ⅱ)若对所有都有,求的取值范围答案:解:(Ⅰ)的导数.由于,故.(当且仅当时,等号成立).(Ⅱ)令,则,(ⅰ)若,当时,,故在上为增函数,所以,时,,即.(ⅱ)若,方程的

5、正根为,此时,若,则,故在该区间为减函数.所以,时,,即,与题设相矛盾.综上,满足条件的的取值范围是.第9题.(2007全国I文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(  )A.B.C.D.答案:A第10题.(2007全国I文)设函数在及时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.答案:(Ⅰ),32用心爱心专心因为函数在及取得极值,则有,.即解得,.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,.当时,;当时,;当时,.所以,当时,取得极大值,又,.则当时,的最大值为.因为对于任意的,有恒成立,所以 ,解得 或,因此的取值范围为.第11题.(20

6、07全国II理)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:.答案:解:(1)求函数的导数:.曲线在点处的切线方程为:,即.(2)如果有一条切线过点,则存在,使.32用心爱心专心于是,若过点可作曲线的三条切线,则方程有三个相异的实数根.记,则.当变化时,变化情况如下表:000极大值极小值由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根;当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根;当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根.综上,如果过可作曲线三条切线,即有三个相异的实数根,则即.第12题.(2007陕西理)设函数,其中

7、为实数.(I)若的定义域为,求的取值范围;(II)当的定义域为时,求的单调减区间.答案:解:(Ⅰ)的定义域为,恒成立,,,即当时的定义域为.32用心爱心专心(Ⅱ),令,得.由,得或,又,时,由得;当时,;当时,由得,即当时,的单调减区间为;当时,的单调减区间为.第13题.(2007浙江理)设,对任意实数,记.(I)求函数的单调区间;(II)求证:(ⅰ)当时,对任意正实数成立;(ⅱ)有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.答案:(I)解:.由,得.因为当时,,当时,,当时,,故所求函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.(II)证明:(i)方法一:令,则,32用

8、心爱心专心当时,由,得.

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