2012届高三理科一轮总复习教学案《第三章导数及其应用》.doc

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1、导数及其应用知识网络3.1　导数的概念与运算典例精析题型一　导数的概念【例1】已知函数f(x)＝2ln3x＋8x，求的值.【解析】由导数的定义知：＝－2＝－2f′(1)＝－20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时，平均变化率的极限.【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝，则在时刻t＝10min的降雨强度为(　　)A.mm/minB.mm/minC.mm/minD.1mm/min【解析】选A.题型二　求导函数【例2】求下列函数的导数.(1)y＝ln(x＋)；(2)y＝(x2－2x＋

2、3)e2x；(3)y＝.【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y′＝(x＋)′＝(1＋)＝.(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x＝2(x2－x＋2)e2x.11(3)y′＝(＝(＝x(1－x)【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝　　　　　　；＝　　　　　　(用数字作答).【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，由导数定义＝f′(1).当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.题型三　利用导数求切线的斜率【

3、例3】已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且l与C切于点P(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.【解析】由l过原点，知k＝(x0≠0)，又点P(x0，y0)在曲线C上，y0＝x－3x＋2x0，所以＝x－3x0＋2.而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x－6x0＋2.又k＝，所以3x－6x0＋2＝x－3x0＋2，其中x0≠0，解得x0＝.所以y0＝－，所以k＝＝－，所以直线l的方程为y＝－x，切点坐标为(，－).【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.【变式训练3】若函数y＝x3－3x＋4

4、的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.【解析】设切点为P(x0，y0)，则由y′＝3x2－3得切线的斜率为k＝3x－3.所以函数y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(3x－3)(x－x0).又切线经过点(－2,2)，得2－y0＝(3x－3)(－2－x0)，①而切点在曲线上，得y0＝x－3x0＋4，②由①②解得x0＝1或x0＝－2.11则切线方程为y＝2或9x－y＋20＝0.总结提高1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：(1)导数的定义，即求＝的值；(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值.2.求y＝f(

5、x)的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式；(2)利用四则运算的导数公式；(3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是函数y＝f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.3.2导数的应用(一)典例精析题型一　求函数f(x)的单调区间【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞).f′(x)＝2x－a－＝，①若a≤0，则≤1，f′(x)＝＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)增区

6、间为(1，＋∞).②若a＞0，则＞1，故当x∈(1，]时，f′(x)＝≤0；当x∈[，＋∞)时，f′(x)＝≥0，所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，]，f(x)的增区间为[，＋∞).【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′(x)符号，须讨论实数与0及1的大小，分类讨论是解本题关键.【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋lnx－ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围.【解析】因为f′(x)＝2x＋－a，f(x)在(0,1)上是增函数，所以2x＋－a≥0在(0,1)上恒成立，即a≤2x＋恒成立.11又2x＋≥2(当且仅当x＝时，取等号).所以a≤2，故a的取值范围为(－∞，2

7、].【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时⇒f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时⇒f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.题型二　求函数的极值【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.因为x＝±1是函数