2008年全国高中数学联赛福建赛区预赛.pdf

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1、2009年第9期332008年全国高中数学联赛福建赛区预赛一、选择题(每小题6分，共36分)对于某个正实数k，存在函数-厂()：ax(a>0)，使得QOA=2LPOA，其中，P(11))、1．已知0<<3“-，sin一cos=．若(1(kk))．则k的取值范围为()．(A)(2，+∞)(B)(3，+。o)tan+tan可以表示成b的形式(n、b、c一7c(C)[4，+∞)(D)[8，+∞)是正整数)．则a+b+C=()．4．方程l一3x+2l+I+2x一3l=11(A)8(B)32(C)48(D)50的实数解的个数是()．2．已知一个正三棱柱的底面边长

2、为1，(A)0(B)1(C)2(D)4且两个侧面的异面对角线互相垂直．则它的5．已知函数f()满足对所有的实数、侧棱长为()．Y，都有)2+y)+5=f(3x-y)+2+1．(A)(B)(c)2(D)则10)的值为()．3．在直角坐标平面xOy中有点A(5，0)．(A)一49(B)一1(C)0(D)25-凼为网切线郡过点P，所以，,X05xo70．——．．．、．．．．——2563，一1警百+，百+‘5—7一70‘这表明点M、NJfzJ~解=．筹+等=①代入式②得MN的方程为上．Fh两点决定一条直线知，式①就是直线5一_0．③MN的方程，其中(。，)满足

3、直线l的方程．将此方程与椭圆方程联立，消去Y得(1)当P在直线l上运动时，可理解为533128068-0．取遍一切实数，相应的为y。=5～—一—u·。一10．。由此得MN截椭圆所得弦的中点横坐标代入式①消去y0+——一1：ou②恰好为点Q(篙，一)的横坐标，即1+'27225对一切X0ER恒成立．丁‘变形可得。(砉+653y)一(孚+)=o对代入式③可得弦中点纵坐标恰好为点一切。ER恒成立．Q(25，一)的纵坐标，即则砉+63=o，_lg9oz+1：0．5255339y×一丽一。这就是说，点Q25由此得直线删恒过定点Q(篙，一)．这就是说，点，，一一)

4、平分线段删(2)当MN∥Z时．由式⑦知(黄仁寿欧阳新龙提供)中等数学6．已知实数a使得只有一个实数满足求：关于的不等式14-2ax+3al≤2．则满足(1)凹四边形ABHC的面积；条件的所有的实数a的个数是()．(2)PO·OH的值．(A)1(B)2(C)3(D)无穷多15．求最小的正实数，使得不等式二、填空题(每小题6分，共36分)22，，口6+6c+ca+(+1+÷)≥97．若双曲线一=1(0>0，b>0)上a0对所有的正实数a、b、c都成立．16．设。，：，⋯是不同的正实数．证明：横坐标为÷口的点到右焦点的距离大于它到二⋯，，是一个等比数列的充分

5、必要条件是左准线的距离，则该双曲线两条渐近线所夹对所有整数n(rt>12)，都有锐角的取值范围是一8．设多项式2台X'k~k+1一；一‘p(x、=一2008x+2008x一2008x+2(138x“一⋯+2008X3—2008x+2008x．参考答案则P(2007)=．————1．D．9．实数、，~xTZ{Xx+siny=2008,1007、由条件知≤詈)．+y：sin．~-COS)=(詈)．10．在平面直角坐标系中，设点A(0，4)、因此,sinx~cosx-．日(3，8)．若点P(，0)使得APB最大，则=．故tan+一：+_COS11．质数p、g

6、、r满足P+g=r，且(卜-P)·tanCOSSln(q—P)一27p是一个完全平方数．则满足条一——一兰一sin·COS一16—7c2。件的所有三元数组(P，q，r)=．12．正整数≤500，具有性质：从集合所以，a+6+c=32+16+2=50．{l，2，⋯，500)中任取一个元素m，使得mIn2．B．的概率是．则n的最大值是设ABC—AB。C，是正三棱柱，侧棱的长为a，侧面对角线AB与BC互相垂直．则三、解答题(每小题2O分，共80分)B1A·BCl=013．已知抛物线G：Y=ape(a>0)，直线Y=+2交抛物线于点A、日，是线段AB的j(B1

7、B+BA)·(BB1+B1C1)=0中点，过作轴的垂线交抛物线C于点Ⅳ．jBlB·BB1邶1曰·曰1C1+·肋1+鲋·lC1=O(1)证明：抛物线C在点Ⅳ处的切线z=》一a2+0十0十COS60。=0与AB平行．(2)是否存在实数a，使得NA·NB=070·若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．3．A．14．如图1．已知锐角△ABC由0

8、联结OH与BC的延长线交于点P2009年第9期35结合tanPOA=CI,，tanqo,4=a