8分）如图,已知ab是⊙o的弦,ob=2,b=30°,c是弦ab

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1、12.（2011江苏苏州，26,8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.（1）弦长AB=________（结果保留根号）；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.【答案】解：（1）2.（2）解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D.∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.又

2、∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，∴∠BOD=2∠A=100°.解法二：如图，连接OA.∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°.（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D.∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°.此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.∴△

3、DAC∽△BOC.∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=.13.（2011江苏苏州，27,8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.（1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（

4、a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.【答案】解：（1）2；2或.（2）如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长FP交BC于点G，则PG⊥BC.∵P点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4-a.在△PAD、△PAB及△PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，∵AB是直径，∴∠APB=90°.∴PE2=AE·BE，即b2=a（4-a）.∴2S1S3-S22=4a（8-2a）-4b2=-4a2+16a=-4（a-2）2+16.∴当a=2时，b=2，2S1S3-S22有最大

5、值16.14.（2011江苏泰州，26，10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．【答案】解：(1)N是BC的中点。原因：∵AD与小圆相切于点M，∴OM⊥AD，又AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点．(2)连接OB，设小圆半径为r，则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,在Rt△OBN中，由

6、勾股定理得OB2=BN2+ON2，即：（r+6）2=(r+5)2+52，解得r=7cm.∴小圆的半径为7cm.15.（2011四川成都，27,10分）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙0，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．(1)求证：AE=CK；(2)如果AB=，AD=(为大于零的常数)，求BK的长；(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．【答案】解：（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴

7、DE⊥AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.（2）在Rt△ABC中，AB=，AD=BC=，∴==，∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK===.（3）连线OG，∵AC⊥DG，AC是⊙O的直接，DE=6，∴DE=EG=6，又∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF是△ABK的中位线，∴AF=BF，AE=EK=KC；在Rt△OEG中，设OG=，则OE=，E

8、G=6，，∴，∴.在Rt△ADF≌Rt△BHF中，AF=BF，∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6.