复变函数积分及其计算方法-论文.pdf

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1、2014年27期科技置向导◇科技创新◇复变函数积分及其计算方法谢滨(北京林业大学工学院中国北京100083)【摘要】复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多重要性质都是通过复积分证明的，文章对复变函数的几种计算方法进行归纳，用例题来详细说明。主要包括积分曲线的参数方程法、牛顿莱布尼兹公式、柯西积分定理及公式、高阶导数公式这四个方法。【关键词】复变函数；积分求解；计算方法常见的复变函数积分计算方法有：f11把复变函数积分化为实变量的实函数曲为z=1+it(0≤t≤1)，此时，dz=idt，Rez=l，fcRezdz=lOtdt+J01．idt=争+j线积分注：此积分与积分

2、路径有关(2)用牛顿莱布尼茨公式计算复积分。2．利用柯西积分定理及相关推论求复积分(3)用柯西定理及其推论计算复积分。(1)柯西积分定理：设函数f(z)在单连通域D内解析，则f(z)在D(4)用柯西积分公式计算复积分。内沿任意一条简单闭曲线C的积分fE彤=0(5)用解析函数的高阶导数公式计算复积分。例题：计算积分fsinz&'其中C是圆周Iz一11=1的上半周，走向从(6)利用Iz-iI=1——LT—dz结果计算复积分。2到2．(Z-ZO)n解：因sinz是全平面上的解析函数，由柯西积分定理，它的积分与(7)用留数定理计算复积分『】路线无关．于是可以换一条路线例如，取c为沿实轴从0到2．

3、这样本文主要介绍前4中方法的计算过程及使用的定理便有：1．利用积分曲线的方程计算复积分，2f~sinzdz=f-sinzdz=Isinxdx=1一c。s2．若z=x+iy，z)=u(x'y)+iv(x，y)，复积分也可以写成oI=』f(z)dz=』udx—vdy+i』vdx+udy，即计算复积分本质上可以归结(2)复合闭路定理：复合闭路变形定理：设c为多连同域D内的为两个第二类曲线积分的计算。进一步．一些特殊的第二类曲线积分一条简单闭曲线c。，c⋯⋯cn是在C内的一条简单闭合曲线。它们可以利用格林公式转化为二重积分来计算日互不相交，并且以c。，c：⋯⋯cn为边界的的区域全函于D。如果z)

4、例题1：在D内解析，则有f肚r_∑：：fJ出，其中C及C均取正方向；计算』zdz，其中C为从原点到点3+4i的直线段。f解：此直线方程课写作：3刷用柯西积分公式求复积分x=3t，y=4t，0≤t≤1或z=3t+i4t，O≤t≤1．在C上，z=(3+4i)t，dz=(3+4i)柯西积分公式：设“z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，dt．于是在DUC上连续，z0是D内任一点．则：f2r2』zdz=f(3+4i)~tdt=(3+4i)ftdt=1／2(3+4i)f(z0)=。fdz因』zdz=』(x+iy)(da+idy)=』xdx—ydy+i』ydx+xdy例题：计算积分fz+lZ1fd

5、z易验证，右边两个线积分都与路径c无关．所以fzdz的值，不论是对怎样的连接点到3+4i的曲线．都等于1／2(3+4i)2解：被积函数有两个奇点z一，z=2均在Iz1=3内，做正向圆周C：I例题2：计算积分fcRezdz，其中C为：z+1／21=1／4，C：lz一21=1／4，由柯西积分公式和复合闭路定理，有：(1)连接0到1+i的直线段I=fc面Z2。云I竹i(2)抛物线v=x上由0到1+i的弧段4．利用高阶导数公式求复积分(3)连接0再到1+j的折线，如图1。设函数z)在简单闭曲线c所围成的区域D内解析．而DUC上连续，则f(z)的各阶导数均在D内解析，对D内任意一点z有：．ff～＼

6、(z)=f—一d8(n=l，2，3⋯·-)例题：计算积分：}dz(z-i)3解：函数COSZ在Iz—iI≤1上解析．可知1关于复变函数积分的计算，方法灵活多样，解题的时候要做到因解：题而异，根据积分路径和被积函数，先看积分路径是否是封闭曲线，再(1)积分路径的参数方程为：z(t)=t+it(0≤t≤1)，于是Rez=t，dz=(1+i)看被积函数的具体形式以及在已给区域上的解析性．然后决定采取什么方法。dt,因此，fc尺e出：J：(1+i)Ldl=1(1+i)．(2)积分路径的参数方程为：z(1)=t+it2(0≤t≤1)，于是Rez=t，dz=(1+【参考文献】2it)因此，fc尺e出

7、=J【(1+2dt=争+争i[1]黄隽．复变函数积分计算方法的探讨fJ]．常州工学院学报，2008(21)：74—75．[2]吴君，刘易成．复积分的对比教学初探[J】．湘南学院学报，2010(10)：44—46．(3)积分路径由两条直线段构成。由x轴上0到1的线段其参数[3]陈静．复变函数积分的几种计算方法[J】l河南机电高等专科学校学报，2013(2)：方程为：z=t(0≤t≤1)，此时dz=dt，Rez=t；由1到l+i的线段其