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1、二.通项公式二项式定理的复习1.二项展开式：这个公式叫做二项式定理,等号后面的式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk叫做二项展开式的通项,通项公式:TK+1=Cnkan-kbk2.二项展开式的特点(1)项数：展开式有共n+1项(2)系数：都是组合数， 依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn(3)指数的特点：1)a的指数由n0(降幂)2)b的指数由0n(升幂) 3)a和b的指数和为n3.二项式定理的几个变式：(a-b)n(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cn
2、kxk+…+Cnnxn4.扬辉三角：11表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两数的和.1331146411510105116152015611211通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk一．利用二项式定理和展开式的通项公式可以求某些特殊项，如含某个幂的项、常数项、有理项、最大项等问题。在这里要分清①二项展开式中的各项的“二项式系数”与“系数”的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数”仅指Cn0、Cn1、…Cnr…Cnn这些组合数而言，不包括字母a、b所表示式子中的系数。②通项Cnkan-kbk是展开式中的第k+1项，而不是第k项。解:在(1
3、-2x)7的展开式中,第四项为T4=C73(-2x)3=-280x3,第四项的二项式系数是C73=35；第四项的系数是C73(-2)3=-280.例1：求(1-2x)7的展开式中,第四项的二项式系数和第四项的系数。注意某项的二项式系数和项的系数的区别。注意：展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数不同。.根据题意，得9–2r=3r=3注意：展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数不同。注意：展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数不同。在实际应用过程中，这个公式很有作用，我们可以用这个展开式来求一些复杂数的近似值。根据精确度的要求，从第三项
4、起的各项都可以省去，所以例4：在二项式的展开中式，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。分析：本例是典型的特定项的问题，涉及到前三项和有理项，可以用通项公式来解决。例4：在二项式的展开中式，前三项系数成等差数列，求展开式中的所有有理项。解：二项展开式的通项公式是:前三项的r=0,1,2，得系数为:t1=1,t2=,t3=由已知得:t1+t3=2t2,1+得n=8.通项公式:k=0,1,2…,8TK+1为有理项，16-3k是4的倍数，∴k=0,4,8,有理项有三项，依次为:T1=x4,T5=35x/8,T9=1/256x2例5.已知(－)n(n∈N)的展开式
5、中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。(1)求展开式各项系数的和；(2)求展开式中含x的项。(3)求展开式中系数最大的项和系数最小的项。xx2223例5.已知(－)n(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。(1)求展开xx2223式各项系数的和；(2)求展开式中含x的项。(3)求展开式中系数最大的项和系数最小的项。分析：要灵活、正确的应用二项展开式的通项公式。(1)先根据通项公式得到第五项与第三项的系数，再由已知条件求出n的值。由“赋值法”求各项系数的和。例5.已知(－)n(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。(
6、1)求展开xx2223式各项系数的和；(2)求展开式中含x的项。(3)求展开式中系数最大的项和系数最小的项。(2)根据通项公式先出求含x的项是展开式中的第几项，然后把它代入通项公式。(3)这个二项展开式在奇数项系数是正的，偶数项系是负的，所以只须考虑系数的绝对值最大。23例5.已知(－)n(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。(1)求展开 式各项系数的和xx22解：∵(－)n展开式中的通项为xx22Tk+1=Cnk()n－k(－)k=(－2)kCnk()n－5kxx22x∴T5=T4+1=24Cn4x2n－10T3=T2+1=22Cn2x2
7、n－5∴第五项的系数与第三项的系数分别为24Cn4、22Cn2;例5.已知(－)n(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。(1)求展开 式各项系数的和xx22由题意得：24Cn4∶22Cn2=10∶1∴n2－5n－24=0；解得n=8或n=－3(舍)。令x=1，代入(－)8xx22令x=1,得(1-2)8=1,所以各项系数和为1。例5.已知(－)n(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。xx2223(2)求展开式中含x的项。解：展开式通项为：28－5kTk+1=(－2)kc8kx则条件=，解得k=128－5k23∴展开式
8、中含x的项
