高中数学优秀讲义微专题43 线性规划.doc

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1、微专题43线性规划——作图与求解一、基础知识1、相关术语：（1）线性约束条件：关于变量的一次不等式（或方程）组（2）可行解：满足线性约束条件的解（3）可行域：所有可行解组成的集合（4）目标函数：关于的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方

2、向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：①竖直线或水平线：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断②一般直线：可代入点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式，代入符合不等式，则所表示区域为直线的右下方③过原点的直线：无法代入，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。例如：：直线穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点，所以必有，所以第四象限所在区域含在表示的区域之中。（3）在

3、作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件（或）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件（或）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设为常数）①线性表达式——与纵截距相关：例如，则有，从而的取值与动直线的纵截距相关，要注意的符号，若，则的最大值与纵截距最大值相关；若，则的最大值与纵截距最小值相关。②分式——与斜率相关（分式）：例如：可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率

4、。③含平方和——与距离相关：例如：可理解为是可行域中的点与定点距离的平方。（3）根据的意义寻找最优解，以及的范围（或最值）4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。例如：若变量满足约束条件，则的最大值等于_____作出可行域如图所示，直线的斜率，直线的斜率，目标函数的斜率，所以，所以在平移直线时，目标函数直线的倾斜程度要介于两直线之间，从而可得到在取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的联系，平移的直线比还要平，则会发现最优解在处

5、取得，以及若平移的直线比还要陡，则会发现最优解在处取得，都会造成错误。所以在处理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并确定直线间“陡峭”程度的不同。（1）在斜率符号相同的情况下：越大，则直线越“陡”（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符

6、号的斜率作为分界点。二、典型例题：例1：若变量满足约束条件，则的最小值等于（）A.B.C.D.思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为一个封闭的三角形区域，目标函数化为：，则的最小值即为动直线纵截距的最大值。目标函数的斜率大于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。通过平移可发现在点处，纵截距最大。且解得，所以的最小值答案：A例2：设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A.B.C.D.思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，目标函数，通过平移可得最优解为，所以答案：B例3：若变量满足，则的最大值为（）A.B.C.D.思路

7、：目标函数可视为点到原点距离的平方，所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，观察可得最远的点为，所以答案：D例4：设变量满足约束条件，则的取值范围是（）A.B.C.D.思路：所求可视为点与定点连线的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得在处的斜率最小，即，在处的斜率最大，为，结合图像可得的范围为答案：D例5：若实数满足条件，则的最大值为（）A.B.C.D.思路：设，则可先计算出的范围，即可求出的最大值：，则最优解为，所以，则答案：B例6：设为坐标原点，点的坐标为，若点满足不等式组，则使取得最大值的点的个数有（）

8、A.1B.C.D.无数个思路：设，作出可行域，通过平移可发现达到最大值时，目标函数与直线重合，所以有无数多个点均能使取得最大值答案：D例7：（2015，福建）变量满足约束条件，若的最大值为，则实数等于（）A.B.C.D.